Question

Calcule a área da região limitada pelo gráfico da seguinte função:
y = sin(x) e y = cos(x), no intervalo [0, π]

Answer 1

Resposta:

$A=2\sqrt{2}$

Explicação passo a passo:

Ponto de interseção das curvas:

senx = cosx ⇒ x = π/4

Devemos calcular uma soma de integrais de 0 a π/4 e de π/4 a π

$A=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }(cosx-senx)dx + \displaystyle\int_{\frac{\pi }{4 } }^{\pi }(senx-cosx)dx\\\\A=[senx+cosx\left ]{ {{\frac{\pi }{4} } \atop {0}} \right. +[-cosx-senx\left ]{ {{\pi } \atop {\frac{\pi }{4} }} \right.$

$A=[senx+cosx\left ]{ {{\frac{\pi }{4} } \atop {0}} \right. -[senx+cosx\left ]{ {{\pi } \atop {\frac{\pi }{4} }} \right.$

$A=sen\frac{\pi }{4} +cos\frac{\pi }{4} -(sen0+cos0)-[sen\pi +cos\pi -(sen\frac{\pi }{4} +cos\frac{\pi }{4} )}$

$A=\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} -(0+1)-[0-1-(\frac{\sqrt{2} }{2} +\frac{\sqrt{2} }{2} )]$

$A=\frac{2\sqrt{2} }{2} -1-[-1-\frac{\sqrt{2} }{2}-\frac{\sqrt{2} }{2}]$

$A=\sqrt{2} -1+1+\frac{\sqrt{2} }{2}+ \frac{\sqrt{2} }{2}\\\\A=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2} }{2} \\\\A=\sqrt{2}+\sqrt{2} \\\\A=2\sqrt{2}$