Question

Calcule a área da regiao limitada pelas curvas Y =x^3 e Y= x. (Integral definida)

Answer 1

$y_a=x^3 \; , y_b=x\\\\ \text{encontrando o intervalo}\\\\y_a=y_b\\\\x^3=x\\\\x^3-x=0\\\\x(x^2-1)=0 \\\\x(x-1)(x+1)\to \Bmatrix x=0 \\ou \\ x=1\\ ou\\ x=-1 \end$
o intervalo é -1≤x≤0 , 0≤x≤1 
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por simetria a area de -1≤x≤0  é igual a area de  0≤x≤1 

pegando o ponto médio do primeiro  intervalo (x=-0,5)
para verificar qual função limita por cima e qual limita por baixo
$y_a=(-0,5)^3= -0,125\\ y_b=-0,5\\\\ \boxed{y_a \ \textgreater \ y_b}\\\\ y_b \;\text {limita a area por cima}$

para o segundo intervalo (x=0,5)

$y_a=0,5^3= 0,125\\ y_b=0,5\\\\ \boxed{y_b \ \textgreater \ y_a}\\\\ y_b \;\text {limita a area por cima}$

logo a area porcurada será
$\int\limits^0_{-1} {(y_a-y_b)} \, dx + \int\limits^1_0 {(y_b-y_a)} \, dx$

como no primeiro intervalo as funções estão na parte negativa do eixo y temos que reescrever a area como
$-\int\limits^0_{-1} {(y_a-y_b)} \, dx + \int\limits^1_0 {(y_b-y_a)} \, dx$

e por simetria area do primeiro intervalo vai ser igual a area do segundo então

$-\int\limits^0_{-1} {(y_a-y_b)} \, dx + \int\limits^1_0 {(y_b-y_a)} =2\int\limits^1_0 {(y_b-y_a)} \, dx \\\\ 2\int\limits^1_0 {x-x^3} \, dx = \left \frac{x^{1+1}}{1+1}- \frac{x^{3+1}}{3+1} \right | ^1_0 = 2[\left \frac{x^{2}}{2}- \frac{x^{4}}{4} \right | ^1_0]= [( \frac{1^2}{2}- \frac{1^2}{4}) - ( \frac{0^2}{2}- \frac{0^2}{4}) ]\\\\ =2[ \frac{1}{2}- \frac{1}{4}-0 ]= \frac{1}{2} \; u.a$