Question

Calcule a área da região limitada pelas curvas f(x) = x³ + 2x - 1 e g(x) = 3x - 1.

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$f(x) = x {}^{3} + 2x - 1 \: \: e \: \: g(x) = 3x - 1$

Para calcular a área entre essas funções, devemos primeiro plotar o gráfico dessas funções. A área formada, será calculada por:

$A = \int_{a}^{b} \: f(x) \: dx$

Para iniciar devemos calcular os pontos de interseção dessas duas funções, ou seja, os limites de integração (a e b):

$x {}^{3} + 2x - 1 = 3x - 1 \: \to \: x {}^{3} - x = 0 \\ x.(x {}^{2} - 1) = 0 \: \to \: x = 0, \: x = 1 \: e \: x = - 1$

Agora vamos montar as funções das áreas, para isso devemos observar o gráfico plotado, pois como pode ser observado na figura anexada, duas áreas são formadas de -1 até 0 e de 0 até 1. Portanto a área formada será dada pela função de cima subtraida pela função de baixo no dado intervalo onde ela se encontra:

$A = \int_{ - 1}^{0}x {}^{3} + 2x - 1 - (3x - 1) \: dx+ \int_{0}^{1}3x - 1 - (x {}^{3} + 2x - 1) \: dx \\ \\ A = \int_{ - 1}^{0} \: x {}^{3} - x \: dx+ \int_{0}^{1} \: x - x {}^{3} \: dx$

Agora devemos calcular as integrais básicas:

$\int_{ - 1}^{0} \: x {}^{3} - x \: dx = \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} - \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \bigg|_{ - 1}^{0} \\ \int_{0}^{1} \: x - x {}^{3} \: dx \: = \: \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} \bigg|_{ 1}^{ 0}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$\frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} - \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} \bigg|_{ - 1}^{0} \: \to \: \: - \frac{( - 1) {}^{4} }{4} - \left( - \frac{( - 1) {}^{2} }{2} \right) \\ - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \: \to \: \boxed{ \frac{1 }{4}} \\ \\ \frac{x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} \bigg|_{ 0}^{1} \: \to \: \frac{1 {}^{2} }{2} - \frac{1 {}^{4} }{4} \: \to \: \boxed{\frac{1}{4} }$

Portanto a área é dada por:

$A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \: \to \: A = \frac{1 + 1}{4} \: \to \: \boxed{A = \frac{1}{2} }$

Espero ter ajudado