Question

Calcule a área da região limitada entre funções:

y=x/2, y =$\sqrt{x}$, x=2 e x=4

Answer 1

Resposta:

0,4477

Explicação passo-a-passo:

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• Essa tarefa é sobre área entre curvas de funções.

• Para calcular a área entre duas funções você deve:
• 1. verificar qual das funções dadas é maior que a outra no intervalo considerado
• 2. usar a fórmula abaixo para determinar a área:

        $A =\displaystyle \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$

onde

f(x) é a função "maior"

g(x) é a função "menor"

Vamos a solução.

Solução:

No intervalo considerado temos que:

$f(x) =\sqrt{x} \, >\dfrac{x}{2}=g(x)$

Logo o integrando será:

$f(x)-g(x)=\sqrt{x}-\dfrac{x}{2}$

E podemos calcular a área usando a fórmula:

$A =\displaystyle \int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$

$A=\displaystyle \int_2^4 \sqrt{x}-\dfrac{x}{2}\, dx$

Aqui basta transformar a raiz numa potência e calcular a integral, assim:

$A=\displaystyle \int_2^4 x^{\frac{1}{2}}-\dfrac{x}{2}\, dx$

$A = \bigg[\dfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\dfrac{x^2}{4}\bigg]_2^4$

$A=\bigg(\dfrac{2}{3}\cdot4^{\frac{3}{2}}-\dfrac{4^2}{4}\bigg)-\bigg(\dfrac{2}{3}\cdot2^{\frac{3}{2}}-\dfrac{2^2}{4}\bigg)$

$A=\dfrac{2}{3}\cdot\bigg(4^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}}\bigg)-4+1$

$A=\dfrac{2}{3}\cdot\bigg(4^{\frac{3}{2}}-2^{\frac{3}{2}}\bigg)-3$

$A=\dfrac{2}{3}\bigg(8-2,8284\bigg)-3$

$\therefore \boxed{A\approx 0,4477}$

Conclusão: a área entre as funções é aproximadamente igual a 0,4477.

Bons estudos!

Equipe Brainly