Question

Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = −x2 e y = −√x, para x ≥ 0.

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = - x {}^{2} , \: y = - \sqrt{x}$

Para calcular a área entre essas funções, é necessário primeiro encontrarmos os limites da área formada, ou seja, os pontos de interseçao/encontro das funções, para fazer isso basta igualar uma função à outra:

$- x {}^{2} = - \sqrt{x} \to ( - x {}^{2} ) {}^{2} = ( - \sqrt{x} ) {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ x {}^{4} = x \to x {}^{4} - x = 0 - \to x.(x {}^{3} - 1) = 0 \\ \\ x = 0 \: \: e \: \: x {}^{3} - 1 = 0 \to x = 0 \: \: e \: \: x = 1 \: \: \: \: \: \:$

Portanto esses são os limites de integração. Agora vamos encontrar a área da funcão formada entre as duas funções, para a montagem, basta lembrarmos daquela "regra" que diz que a área formada é a função que cima subtraida da função de baixo, então:

$A = \int\limits_{0}^{1}-x^2-( - \sqrt{x}) \: dx \\ A = \int\limits_{0}^{1}-x^2 + \sqrt{x} \: dx \: \: \: \: \: \:$

Integrando as funções:

$A = \left( - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{2x {}^{ \frac{3}{2} } }{3} \right ) \bigg | _{0 }^{1}$

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

$A = - \frac{1{}^{3} }{3} + \frac{2.1 {}^{ \frac{3}{2} } }{3} - 0 \\ \\ A = - \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \\ \\ \boxed{A = \frac{1}{3} }$

Espero ter ajudado