Question

Calcule a área da região delimitada pelas curvas y = x e y = x².

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas.

Devemos calcular a área da região delimitada pelas curvas $y=x$ e $y=x^2$. Para isso, utilizaremos as técnicas estudadas em cálculo integral.

Lembre-se que a área de uma região $R$ delimitada pelas curvas $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Primeiro, igualamos as funções para encontrar seus pontos de interseção: eles determinarão o intervalo de integração.

$x=x^2$

Subtraia $x$ em ambos os lados da igualdade

$x^2-x=0$

Fatore a expressão pondo $x$ como fator comum em evidência.

$x\cdot(x-1)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Logo, temos as soluções:

$x=0~~\bold{ou}~~x-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da segunda solução

$x=0~~\bold{ou}~~x=1$

Então, esta região está compreendida entre as funções no intervalo $[0,~1]$.

Também devemos determinar qual função apresenta imagem maior neste intervalo. Ao analisarmos a imagem (em anexo), podemos ver que $x>x^2$.

Assim, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^1x-x^2\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)\pm g(x)\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$.
• A integral definida de uma função, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int x\,dx-\int x^2\,dx~\biggr|_0^1}$

Aplique a regra da potência, lembrando que $x=x^1$

$\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^3}{3}-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{0^3}{3}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\\\\\\ \dfrac{3-2}{2\cdot3}\\\\\\ \dfrac{1}{6}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre estas curvas.