Question

Calcule a área da região da figura anterior, determinada pela curva da função cosseno, no intervalo de 0 a π. Mostre que ela não é zero e explique porque seu valor não coincide com o da integral dessa função nesse mesmo intervalo.

Answer 1

Como a integral, é a área da matemática, as vezes chamada de "área algébrica", por ser uma generalização do conceito de "área" da geometria, ela pode ter sinal negativo ou positivo.

Dividindo o intervalo "pi" em dois, temos a área em azul e a área em vermelho, integrado cada parte em seu devidos intervalos, temos que às áreas são igual em módulo, mas como tem sinais contrarios em relação ao eixo a soma das suas integrais se anula.

Para acharmos a área total, façamos a integração das duas partes e somamos seus modulos:

[segue em anexo]

Portanto a área é igual a 2

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Não existe área negativa. Temos que fazer é proceder corretamente. O resultado negativo significa apenas que a região está abaixo do exio x.

O eixo das abscissas é y = 0 ⇒ g(x) = 0

Sejam f(x) = cosx e g(x) = 0

De 0 a π/2 f(x) > g(x) e de π/2 a π g(x) > f(x)

$A=\int\limits^b_a {[f(x)-g(x)]}\,dx\\\\A=\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {(coosx-0)}\,dx+\int\limits^\pi _\frac{\pi }{2}{\((0-cosx)\,dx\\\\=\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {cosx}\,dx -\int\limits^\pi _\frac{\pi }{2}{cosx} \, dx=senx\left\\{\frac{\pi}{2}\atop {0}\right.-senx\left]\\{\pi} \atop {\frac{\pi}{2}}} \right.=$

$sen\frac{\pi }{2}-sen0-(sen\pi -sen\frac{\pi }{2})=1-0-0-(-1)=1+1=2$