Question

Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções = y = x e y = x² - x , considerando 1 ≤ x ≤ 2

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{2}{3}~u.~a}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos a área de uma região compreendida por duas funções, utilizaremos integrais duplas.

Seja $D$ a região compreendida entre duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$. Sua área é dada pela integral dupla: $\displaystyle{\int\int_D \,dA$.

O elemento de área $dA$ pode ser definido de acordo com o Teorema de Fubini. A ordem de integração é importante, pois a última variável a ser integrada deve ter limites de integração numéricos. Assim, podemos assumir $dA=dy\,dx$ ou $dA=dx\,dy$.

Observando os dados cedidos pela questão, consideremos $dA=dy\,dx$. Se em todo este intervalo, $f(x)>g(x)$, a área da região $D$ é dada por: $\displaystyle{\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)} \,dy\,dx$.

Sejam as funções $y=x$ e $y=x^2-x$, considerando o intervalo $1\leq x\leq 2$.

Ao esboçarmos os gráficos destas funções, vemos que no intervalo desejado, $x>x^2-x$. Isto significa que a área da região que buscamos será encontrada ao calcularmos a integral:

$\displaystyle{\int_1^2\int_{x^2-x}^{x} \,dy\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.
• A integral definida de uma função, contínua em um dado intervalo $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, tal que $F(x)$ é a antiderivada da função $f(x)$,

Sabendo que $\displaystyle{\int \,dy=\int y^0\,dy$, calcule a integral mais interna

$\displaystyle{\int_1^2y~\biggr|_{x^2-x}^{x} \,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_1^2x-(x^2-x) \,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os termos semelhantes

$\displaystyle{\int_1^22x-x^2 \,dx$

Calcule a integral aplicando a regra da soma e da potência

$x^2-\dfrac{x^3}{3}~\biggr|_1^2$

Aplique os limites de integração

$2^2-\dfrac{2^3}{3}-\left(1^2-\dfrac{1^3}{3}\right)$

Calcule as potências

$4-\dfrac{8}{3}-\left(1-\dfrac{1}{3}\right)$

Efetue a propriedade de sinais

$4-\dfrac{8}{3}-1+\dfrac{1}{3}$

Some os valores

$\dfrac{2}{3}$

Esta é a área da região compreendida entre estas funções neste intervalo.

Veja a imagem em anexo: os gráficos das funções foram esboçados no plano cartesiano. Em azul, temos a função $y=x$; em vermelho, temos a função $y=x^2-x$; em laranja, temos a região calculada.