Question

Calcule a área da região abaixo do gráfico da função LaTeX: f(x)=5x^4+x^2-1f(x)=5x4+x2−1, acima do eixo das abscissas, e entre as retas verticais LaTeX: x=1x=1 e LaTeX: x=3x=3.

Answer 1

Para calcular a área abaixo do gráfico desta função, precisamos calcular a integral definida de f(x) entre o intervalo [1, 3], ou seja:

$\int\limits^1_3 {5x^4+x^2-1} \, dx$

Como a função é um polinômio, basta usar a regra do polinômio para integrais:

$\int\limits^3_1 {5x^4+x^2-1} \, dx = \left[ \dfrac{5x^5}{5} + \dfrac{x^3}{3} -x \right]^3_1\\ \\ \int\limits^3_1 {5x^4+x^2-1} \, dx = \left[ x^5 + \dfrac{x^3}{3} -x \right]^3_1\\ \\\int\limits^3_1 {5x^4+x^2-1} \, dx = \left[ 3^5 + \dfrac{3^3}{3} -3 \right] - \left[1^5 + \dfrac{1^3}{3} -1 \right]\\ \\ \\\int\limits^3_1 {5x^4+x^2-1} \, dx = 243 +9 - 3 - 1 - 1/3 + 1 = 249 - 1/3 = 746/3$