Question

Calcule a área da figura limitada pela parábola y = 4x - x² e pela reta y = - x + 4 .

Answer 1

Temos as seguintes funções:

$y = 4x - x {}^{2} \: \: \: \: e \: \: \: \: y = - x + 4$

Para calcular a área limitada por estas duas funções, devemos usar a tal chamada "INTEGRAL". Para iniciar o cálculo, temos que saber os limites de integração, ou seja, de onde até onde devemos integrar. Para encontrar esses tais limites é necessário calcular a intersecção das funções, ou seja, os pontos em comum, esse cálculo pode ser feito através da igualdade dessas duas funções:

$4x - x {}^{2} = - x + 4\Longrightarrow x {}^{2} - 5x + 4 = 0 \\ \\ x {}^{2} - 5x + 4 =0\Longrightarrow \begin{cases} x_1 = 4 \: \: \: \: \\ x_2 = 1\end{cases}$

Portanto esses serão os limites da integral. Agora vamos montar a equação que representa a área formada. Com a ajuda do Geogebra plote os dois gráficos e observe qual função está acima e qual função está abaixo, tendo feito isso faça a subtração da função que está acima pela função que está abaixo:

$\int\limits_{1}^{4}4x - x {}^{2} - ( - x + 4)dx\Longrightarrow \int\limits_{1}^{4}4x - x {}^{2} + x - 4 \\ \int\limits_{1}^{4} (- x {}^{2} + 5x - 4)dx$

Agora é só integrar essa função e no final realocar os limites de Integração.

$\int ( - x {}^{2} + 5x - 4) = - \frac{ x {}^{2 + 1} }{2 + 1} + \frac{5x {}^{1 + 1} }{1 + 1} - \frac{4x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ - \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{5x {}^{2} }{2} - 4x \bigg |_{1}^{4}$

Finalizando com o Teorema fundamental do cálculo:

$\frac{ - (4) {}^{3} }{3} + \frac{5.(4) {}^{2} }{2} - 4.4 - \left( \frac{ - (1) {}^{3} }{3} + \frac{5.(1) {}^{2} }{2} - 4.1 \right) \\ \\ - \frac{64}{3} + 40 - 16 + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 \\ \\ - \frac{63}{3} + 28 - \frac{5}{2} \\ \\ - \frac{63}{ 3} + \frac{56 - 5}{2} \\ \\ - \frac{63}{3} + \frac{51}{2} \\ \\ - \frac{126 + 153}{6} \\ \\ \frac{27}{6} \Longrightarrow \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{9}{2} \: u.a}}}}$

Espero ter ajudado