Question

calcule a area compreendida entre o eixo x e a curva f(x)= 1/8(x² -2x+8), entre x= -2 e y=4

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas.

Devemos determinar a área da região entre a curva $f(x)=\dfrac{1}{8\cdot(x^2-2x+8)}$ e o eixo das abscissas, no intervalo $[-2,~4]$.

Primeiro, lembre-se que a área de uma região $R$, delimitada por duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx$.

Assim, considerando a função $g(x)=0$, isto é, o eixo das abscissas, a área da região entre uma função e este eixo é igual a área sob a curva no requerido intervalo, calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx$.

Assim, substituindo os dados cedidos pelo enunciado, teremos:

$\displaystyle{\int_{-2}^4 \dfrac{1}{8\cdot(x^2-2x+8)}\,dx}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x^2+a^2}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)+C}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua em intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b = F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\int_{-2}^4 \dfrac{1}{x^2-2x+8}\,dx}$

Reescreva a expressão no denominador como $x^2-2x+1+7=(x-1)^2+7$

$\displaystyle{\dfrac{1}{8}\cdot\int_{-2}^4 \dfrac{1}{(x-1)^2+7}\,dx}$

Calcule a integral imediata, sabendo que $7=(\sqrt{7})^2$

$\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\arctan\left(\dfrac{x-1}{\sqrt{7}}\right)~\biggr|_{-2}^4$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\left(\arctan\left(\dfrac{4-1}{\sqrt{7}}\right)-\arctan\left(\dfrac{-2-1}{\sqrt{7}}\right)\right)$

Some os valores nos numeradores

$\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\left(\arctan\left(\dfrac{3}{\sqrt{7}}\right)-\arctan\left(\dfrac{-3}{\sqrt{7}}\right)\right)$

Sabendo que $\arctan(-x)=-\arctan(x)$, temos:

$\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot\left(\arctan\left(\dfrac{3}{\sqrt{7}}\right)+\arctan\left(\dfrac{3}{\sqrt{7}}\right)\right)\\\\\\ \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{7}}\cdot 2\cdot\arctan\left(\dfrac{3}{\sqrt{7}}\right)\\\\\\ \dfrac{1}{4\sqrt{7}}\cdot\arctan\left(\dfrac{3}{\sqrt{7}}\right)\approx 0.08013~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região delimitada por estas curvas neste intervalo.