Question

Calcule a antiderivada da função f(x) = sen (3x/2)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a antiderivada - primitiva ou integral indefinida -  da referida função é:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \int \sin\bigg(\frac{3x}{2}\bigg)\,dx = -\frac{2}{3}\cos\bigg(\frac{3x}{2}\bigg) + c\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = \sin\bigg(\frac{3x}{2}\bigg)\end{gathered}$

Neste caso, estamos querendo calcular o seguinte a antiderivada de "f(x)", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \sin\bigg(\frac{3x}{2}\bigg)\,dx = \:?\end{gathered}$

Para calcular esta antiderivada podemos utilizar o método da substituição. Para isso, devemos:

• Nomear a função que está dentro dos parênteses.

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt u = \frac{3x}{2}\end{gathered}$

• Derivar "u" em termos de "x".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{dx} = \frac{3}{2}\cdot x^{1 - 1} = \frac{3}{2}\cdot x^{0} = \frac{3}{2}\cdot1 = \frac{3}{2}\end{gathered}$

        Então:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{du}{dx} = \frac{3}{2}\Longrightarrow du = \frac{3}{2}dx\end{gathered}$

         Como a fração 3/2 não está multiplicando "f(x)", então devemos isolar  "dx" no segundo membro, ou seja:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt du = \frac{3}{2}dx\Longrightarrow \frac{2du}{3} = dx\end{gathered}$

• Substituir a função, desenvolver e simplificar os cálculos.

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \sin u\cdot\frac{2}{3}du = \frac{2}{3}\cdot \int \sin(u)\,du\end{gathered}$

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{2}{3}\cdot\left[-\cos(u)\right] + c\end{gathered}$

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = -\frac{2}{3}\cos\bigg(\frac{3x}{2}\bigg) + c\end{gathered}$

✅ Portanto, a antiderivada procurada é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \int \sin\bigg(\frac{3x}{2}\bigg)\,dx = -\frac{2}{3}\cos\bigg(\frac{3x}{2}\bigg) + c\end{gathered}$

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