Question

Calcule a altura h do triângulo ABC da figura anexada

Answer 1

Existem várias formas para resolver este tipo de exercício, eu optei por semelhança de triângulos, onde prolonguei o triângulo do lado direito para obter uma altura H que pode ser associada a altura h devido ao ângulo de 30° graus:
O segundo triângulo do lado esquerdo por possuir um ângulo de 45° pode-se perceber que é a metade de um quadrado, onde os lados são iguais, dessa forma a medida da sua base é equivalente a altura h do triângulo.

tg 30° = H/12
√3/3 = H/12
12√3/3 = H
4√3 = H

Utilizando semelhança de triângulos:

12/(12 - h) = H/h
12/(12 - h) = 4.√3/h
12.h = 4.√3.(12 - h)
12.h = 4.√3.12 - 4.√3.h
12.h + 4.√3.h = 48.√3     (Colocando h em evidência)
h.(12 + 4.√3) = 48.√3
h = 48.√3/(12 + 4.√3)  

obs: Para cancelar o radical que esta dividindo, multiplica (12 + 4.√3) pelo seu conjugado, ou seja, (12 - 4.√3) , assim, obtendo o produto notável da soma pela diferença:

h = 48.√3.(12 - 4.√3)/(12 + 4.√3).(12 - 4.√3)
h = 48.√3.(12 - 4.√3)/12² - (4.√3)²
h = 48.√3.(12 - 4.√3)/ 144 - 16.3
h = 48.√3.(12 - 4.√3)/ 96
h = √3.(12 - 4√3)/2
h = (12.√3 - 4.√3.√3)/2
h = (12.√3 - 4.3)/2   
h = 6.√3 - 6           (Colocando 6 em evidência)
h = 6(√3 - 1)

Fiz o mais explicativo possível, espero ter ajudado. Melhor resposta por favor.