Question

Calcule:

a) (3+√3)/√3




Cálculo obrigatório:



b) 10/(2-√2)


Cálculo obrigatório:



c) 3/(√5+√3)



Cálculo obrigatório:







d) 7/(2+√5)

Cálculo obrigatório:






e) ∛24/∛3 Cálculo obrigatório:






f) (∛(-8)+3)^2-{2-[√((1/2)^(-1) )-12]} Cálculo obrigatório:










g) 0,25×(-3)^2÷1/4-(3×∛(-8)+11) Cálculo obrigatório:










h) √(1+√121) /√(45+√900) Cálculo obrigatório:










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Answer 1

Os resultados das expressões dadas são:

a)  $\sqrt{3}+1$

b)  $10+5\sqrt{2}$

c)  $\dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{3}}{2}$

d)  $-14+7\sqrt{5}$

e)  $2$

f)  $11+\sqrt{2}$

g)  $4$

h)  $\dfrac{2}{5}$

Para realizar este exercício, precisamos de relembrar a racionalização de quocientes.  

Este processo consiste em aplicar um conjunto de operações que não alterem o valor do quociente mas que o transformem num quociente de denominador inteiro.  

Para isto, geralmente multiplicamos e dividimos pelo denominador (se for apenas uma raiz) ou pelo conjugado do denominador (se for uma adição de raízes).  

O conjugado de um denominador do tipo  $\sqrt{a}+\sqrt{b}$  é  $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

Lembremos ainda as prioridades das operações matemáticas:  

1º - Parênteses          

2º - Potências e Raizes          

3º - Multiplicações e Divisões            

4º - Adições e Subtrações

Com isto em mente, passemos à resolução do exercício.

a)

    $\dfrac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=$

$=\dfrac{(3+\sqrt{3})\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=$

$=\dfrac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}\times\sqrt{3}}{3}=$

$=\dfrac{3\sqrt{3}+3}{3}=$

$=\sqrt{3}+1$

b)

    $\dfrac{10}{2-\sqrt{2}}=$

$=\dfrac{10(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=$

$=\dfrac{10\times2+10\sqrt{2}}{2^2-(\sqrt{2})^2}=$

$=\dfrac{20+10\sqrt{2}}{4-2}=$

$=\dfrac{20+10\sqrt{2}}{2}=$

$=10+5\sqrt{2}$

c)

    $\dfrac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=$

$=\dfrac{3(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=$

$=\dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=$

$=\dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{3}}{5-3}=$

$=\dfrac{3\sqrt{5}+3\sqrt{3}}{2}$

d)

    $\dfrac{7}{2+\sqrt{5}}=$

$=\dfrac{7(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=$

$=\dfrac{7\times2-7\sqrt{5}}{2^2-(\sqrt{5})^2}=$

$=\dfrac{14-7\sqrt{5}}{4-5}=$

$=\dfrac{14-7\sqrt{5}}{-1}=$

$=-14+7\sqrt{5}$

e)

Podemos resolver esta alínea de duas formas:

• Por Racionalização de Frações

    $\dfrac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{24}\times(\sqrt[3]{3})^2}{\sqrt[3]{3}\times(\sqrt[3]{3})^2}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{24}\times\sqrt[3]{9}}{3}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{24\times9}}{3}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{2\times2\times2\times3\times3\times3}}{3}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{2^3\times3^3}}{3}=$

$=\dfrac{2\times3}{3}=$

$=2$

• Por Simplificação do Numerador

    $\dfrac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{2\times2\times2\times3}}{\sqrt[3]{3}}=$

$=\dfrac{\sqrt[3]{2^3\times3}}{\sqrt[3]{3}}=$

$=\dfrac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}=$

$=2$

f)

    $\left(\sqrt[3]{-8}+3\right)^2-\left[2-\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}}-12\right]=$

$=\left(\sqrt[3]{-1\times(2\times2\times2)}+3\right)^2-\left(2-\sqrt{2}-12\right)=$

$=\left(\sqrt[3]{-2\times(-2)\times(-2)}+3\right)^2-\left(-\sqrt{2}-10\right)=$

$=\left(\sqrt[3]{(-2)^3}+3\right)^2-\left(-\sqrt{2}-10\right)=$

$=\left(-2+3\right)^2-\left(-\sqrt{2}-10\right)=$

$=1^2-\left(-\sqrt{2}-10\right)=$

$=1-\left(-\sqrt{2}-10\right)=$

$=1+\sqrt{2}+10=$

$=11+\sqrt{2}$

g)

    $0,25\times(-3)^2\div\dfrac{1}{4}-\left(3\sqrt[3]{-8}+11\right)=$

$=\dfrac{1}{4}\times9\div\dfrac{1}{4}-\left(3\times(-2)+11\right)=$

$=9-(-6+11)=$

$=9-5=$

$=4$

h)

    $\dfrac{\sqrt{1+\sqrt{121}}}{\sqrt{45+\sqrt{900}}}=$

$=\dfrac{\sqrt{1+11}}{\sqrt{45+\sqrt{9\times10\times10}}}=$

$=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{45+\sqrt{3^2\times10^2}}}=$

$=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{45+3\times10}}=$

$=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{45+30}}=$

$=\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{75}}=$

$=\dfrac{\sqrt{3\times4}}{\sqrt{3\times25}}=$

$=\dfrac{\sqrt{3\times2^2}}{\sqrt{3\times5^2}}=$

$=\dfrac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}=$

$=\dfrac{2}{5}$

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