Calcule:
a) 2X²-7X+3=0
Soluções para a tarefa
Olá! Segue a resposta com algumas explicações.
Resolução:
Observação: Na resolução, será considerado como conjunto universo o conjunto dos números reais (R), em virtude de nada haver sido explicitado a respeito disso pelo enunciado.
(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:
2.x² - 7.x + 3 = 0
a.x² + bx + c = 0
Coeficientes: a = 2, b = (-7), c = 3
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(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c =>
Δ = (-7)² - 4 . 2 . 3 (Note que (-7)² = (-7)(-7).)
Δ = (-7)(-7) - 4 . 2 . 3 (Aplicação da regra de sinais da multiplicação na parte destacada: dois sinais iguais resultam sempre em sinal de positivo.)
Δ = 49 - 4 . 2 . 3 (Aplicação da regra de sinais da multiplicação na parte destacada: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)
Δ = 49 - 24 =>
Δ = 25
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(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:
x = (-b +- √Δ) / 2 . a =>
x = (-(-7) +- √25) / 2 . (2) =>
x = (7 +- 5) / 4 => x' = (7 + 5) / 4 = 12/2 => x' = 3
x'' = (7 - 5) / 4 = 2/4 = 2(:2)/4(:2) => x'' = 1/2
Resposta: Os valores de X são 1/2 e 3.
Outras maneiras, porém mais formais, de indicar a resposta: S={x E R / x = 1/2 ou x = 3} (leia-se "o conjunto-solução é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a meio ou x é igual a três") ou
S={1/2, 3} (leia-se "o conjunto-solução é constituído pelos elementos meio e e três").
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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
-Substituindo x' = 3 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
2x² - 7x + 3 = 0 =>
2 . (3)² - 7 . (3) + 3 = 0 =>
2 . 9 - 21 + 3 = 0 =>
18 - 21 + 3 = 0 =>
21 - 21 = 0 =>
0 = 0 (Provado que 3 é raiz da equação.)
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→Substituindo x'' = 1/2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:
2x² - 7x + 3 = 0 =>
2 . (1/2)² - 7 . (1/2) + 3 = 0 =>
2 . (1²/2²) - 7/2 + 3 = 0 =>
2 . (1/4) - 7/2 + 3 = 0 =>
2/4 - 7/2 + 3 = 0 (Veja abaixo o cálculo do mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 4, 2 e 1.)
m.m.c 4, 2, 1 |2
2, 1, 1|2
1, 1, 1| 2 . 2 = 4
→Retomando a equação e nela aplicando mmc(4, 2 e 1) = 4:
2/4 - 7/2 + 3 = 0 =>
1.2/4 - 2.7/4 + 4.3/4 = 0 =>
2/4 - 14/4 + 12/4 = 0 (Igualados os denominadores, podem-se efetuar normalmente as operações de adição e de subtração.)
(2 - 14 + 12)/12 = 0 =>
(14 - 14)/12 = 0 =>
0 = 0 (Provado que 1/2 é raiz da equação.)
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!