Question

Calcule ∫〖4x³/(5+x4) dx=〗

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de integrais indefinidas.

Devemos calcular a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{4x^3}{5+x^4}\, dx}$

Primeiro, fazemos a substituição $u=5+x^4$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$ para encontrarmos o diferencial $dx$, sabendo que $u=u(x)$:

$\dfrac{du}{dx}=0+4\cdot x^{4-1}\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=4x^3$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$du=4x^3\cdot dx$

Observe que este elemento já está presente na integral. Assim, teremos:

$\displaystyle{\int\dfrac{du}{u}}$

Sabendo que $\displaystyle{\int\dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C}$, teremos:

$\ln|u|+C$

Desfaça a substituição $u=5+x^4$

$\ln|5+x^4|+C$

Sabendo que $5+x^4$ é estritamente positiva em $\mathbb{R}$, temos a solução:

$\displaystyle{\int\dfrac{4x^3}{5+x^4}\, dx=\ln(5+x^4)+C,~C\in\mathbb{R}~~\checkmark}$

Este é o resultado desta integral.