Question

Calcule ∫4 x .(x^2 +1)dx , usando dois métodos diferentes:
a) Efetue o produto indicado no integrando e depois calcule a integral.(propriedade distributiva)
b) Use a substituição u = x² + 1.

Answer 1

Oi Raissa 

a) Efetuando o produto:

$\int\limits {4x(x^2+1)} \, dx \\ \\ \int\limits {(4x^3+4x)} \, dx \\ \\ \int\limits {4x^3} \, dx+\int\limits {4x} \, dx \\ \\ 4\int\limits {x^3} \, dx+4\int\limits {x} \, dx \\ \\ 4 \frac{x^{3+1}}{3+1} +4 \frac{x^{1+1}}{1+1} +C \\ \\ 4 \frac{x^{4}}{4} +4 \frac{x^{2}}{2} +C \\ \\ \boxed{x^4+2x^2+C}$

b) Usando a substituição

$\int\limits {4x(x^2+1)} \, dx \\ ------------ \\ \boxed{u=x^2+1} \\ \\ \frac{du}{dx} =2x \ \ \ \ \ \ \boxed{dx= \frac{du}{2x} } \\ ------------- \\ substituindo \\ \\ \int\limits {4x(u)} \, \frac{du}{2x} \\ \\ \int\limits {2u} \, du \\ \\ 2\int\limits {u} \ du \\ \\ 2 \frac{u^{1+1}}{1+1}+C \\ \\ 2 \frac{u^2}{2}+C \\ \\ u^2+C \\ \\ substituindo \ agora \ u \\ \\ (x^2+1)^2+C \\ \\ (x^2)^2+2.1.x^2+1^2+C \\ \\ \boxed{x^4+2x^2+C}$

Aí estão as duas formas. Chegamos no mesmo resultado então é isso. 
Espero que goste. Comenta depois :)