Question

Calcule ∭ 24 z d x d y d z , onde W é o sólido limitado por x+y+z=2 , x=0, y=0, z=o e z=1.

Answer 1

Resposta:

68u.v.

Explicação passo-a-passo:

Primeiro você precisa encontrar os parâmetros de x, y e z. Quero dizer os limites de integração. Z já possui seus limites de integração de 0 a 1.

Os limites de x são 0 e o resultado de X+Y+Z = 2 para y e z = 0. Assim, os limites são 0 e 2.

Os limites de x são 0 e o resultado de X+Y+Z = 2 para x e z = 0. Assim, os limites também são de 0 a 2.

Graficamente é mais fácil. Imagine uma região qualquer no chão da sua sala definida por 24z e você encostou ela no canto sala onde z, x, e y são iguais a zero e terá que subir essa região até uma certa altura z o qual o exercício mencionou até z=1.

Enfim, agora basta fazer as integrais:

$\int\limits^1_0 {\int\limits^2_0 {\int\limits^2_0 {24z} \, dx} \, dy } \, dz$

Como dz é o último, seu intervalo aparecerá na integral externa.

Eu prefiro resolver em pedaços. Como assim? Uma integral por vez

Primeiro:

$\int\limits^2_0 {24z} \, dx$

Como estamos em função de x então 24z é constante

ficamos com: [24zx] de 0 a 2. o que nos leva ao resultado 68z.

Agora

$\int\limits^2_0 {68z} \, dy$

Como estamos em função de y então 68z é constante

ficamos com: [68zy] de 0 a 2. o que nos leva ao resultado 136z.

E por fim,

$\int\limits^1_0 {136z} \, dz$

Aqui todo cuidado é bem vindo,

$136\frac{z^{2} }{2}$ de 0 a 1

136.1²/2 = 68u.v.