Question

Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240

Answer 1

A diferença entre 80 e 82 é 2 
Quanto vale (1+i)²? 
(1+i)²=(1+i)(1+i)= 1+2i+i²=1+2i-1= 2i ********(reserva 

de volta ao problema 
(1+i)^80 + (1+i)^82 = 
(1+i)^80 + (1+i)^80.(1+i)² = 
(1+i)^80+(1+i)^80.2i= ..............(colocando em evidencia..... 
(1+i)^80*(1+2i) =................(por questão de elegancia............ 
(1+2i)(1+i)^80

Answer 2

O resultado da operação com números complexos apresentada é 1+2i.

Como se achar o resultado da operação com números complexos?

Temos a expressão a seguir com números complexos:

$\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{i^{96}.2^{40}}$

Podemos começar calculando a potência da unidade imaginária 'i', para isso devemos dividir o expoente (cujo valor é 96) por 4. O quociente é 24 e o resíduo da divisão é 0, então temos $i^{96}=i^0=1$, então, nossa expressão fica assim:

$\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{i^{96}.2^{40}}=\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{2^{40}}$

Para achar as potências dos números complexos, é mais conveniente passar eles para a forma polar:

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\\arg(1+i)=tan^{-1}(\frac{1}{1})=45\º$

Essas potências são as seguintes, na forma polar:

$(1+i)^{80}=(\sqrt{2})^{80}\angle 80.45\º=2^{40}\angle 3600\º\\\\(1+i)^{82}=(\sqrt{2})^{82}\angle 82.45\º=2^{41}\angle 3690\º$

O ângulo de 3600° é congruente com o ângulo de 0°, e o ângulo de 3690° é congruente com o ângulo de 90°, então, as formas binômicas de ambos números complexos são $2^{40}$ e $j2^{41}$. A expressão pode ser resolvida deste modo:

$\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{i^{96}.2^{40}}=\frac{(1+i)^{80}+(1+i)^{82}}{2^{40}}=\frac{2^{40}+2^{41}i}{2^{40}}=\frac{2^{40}+2^{40}.2i}{2^{40}}\\\\=\frac{2^{40}(1+2i)}{2^{40}}=1+2i$

Mais exemplos de números complexos em https://brainly.com.br/tarefa/27002991

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