Question

Calcule (-1+5i/2+3i)². Por favor.

Answer 1

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Desenvolver a expressão que envolve números complexos:

     $\mathsf{\left[\dfrac{-1+5i}{2+3i}\right]^2}$


Na fração dentro dos colchetes, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é  2 – 3i:

     $\mathsf{=\left[\dfrac{(-1+5i)\cdot (2-3i)}{(2+3i)\cdot (2-3i)}\right]^2}$


Expanda os produtos para eliminar os parênteses:

     $\mathsf{=\left[\dfrac{(-1+5i)\cdot 2-(-1+5i)\cdot 3i}{(2+3i)\cdot 2-(2+3i)\cdot 3i}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{-2+10i-(-3i+15i^2)}{4+6i-(6i+9i^2)}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{-2+10i+3i-15i^2}{4+\diagup\!\!\!\!\! 6i-\diagup\!\!\!\!\! 6i-9i^2}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{-2+13i-15i^2}{4-9i^2}\right]^2}$


Mas  i² = – 1:

     $\mathsf{=\left[\dfrac{-2+13i-15\cdot (-1)}{4-9\cdot (-1)}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{-2+13i+15}{4+9}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{13+13i}{13}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[\dfrac{\,\diagup\!\!\!\!\! 13\cdot (1+i)}{\diagup\!\!\!\!\! 13}\right]^2}\\\\\\ \mathsf{=\left[1+i\right]^2}$


Expandindo o quadrado da soma:

     $\mathsf{=1^2+2i+i^2}\\\\ \mathsf{=1+2i+(-1)}\\\\\mathsf{=\diagup\!\!\!\! 1+2i-\diagup\!\!\!\! 1} \\\\\mathsf{=2i}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)