Question

Calcular y' em y=In (x³+1)

Answer 1

A derivada da função dada é $\mathsf{\dfrac{3x^2}{x^3+1}}.$

Explicação

Deseja-se calcular a derivada da seguinte função:

$\large\mathsf{y=\ln(x^3+1).}$

Perceba que essa função é composta. Desse modo, vamos usar a Regra da Cadeia.

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Regra  da Cadeia

Sejam duas funções $\sf f:A\to B$ cuja lei é $\sf y=f(x)$ e $\sf g:B\to C$ dada pela lei $\sf z=g(y).$ Desse modo, existe a função $\sf F:A\to C$ dada por $\sf z=g(f(x)).$ Se f é derivável no ponto x e g é derivável no ponto y tal que y = f(x), então F também é derivável em x e sua derivada é dada por:

$\large\boxed{\mathsf{\frac{d}{dx}[F(x)]=\frac{d}{dx}[g(f(x))]\cdot\frac{d}{dx}[f(x)].}}$

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Usando tal regra, temos:

$\large\displaystyle\mathsf{\frac{d}{dx}[\ln(x^3+1)]=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{1}{x^3+1}\cdot\frac{d}{dx}[x^3+1]=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{1}{x^3+1}\cdot(3x^2+0)=}\\\\\\\large\mathsf{=\frac{3x^2}{x^3+1}.}$

Portanto,

$\large\boxed{\boxed{\mathsf{y'=\frac{3x^2}{x^3+1}.}}}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)