Question

Calcular S= 3+ 6/5 + 12/25 + 24/125 + ...


Me ajudem por favor

Answer 1

A soma a ser calculada é:

$S=3+\dfrac{6}{5}+\dfrac{12}{25}+\dfrac{24}{125}+\dots$

Analisando os termos, percebe-se que é possível fatorá-los da seguinte maneira:

$S=3+3\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)+3\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)^2+3\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)^3+\dots$

Dessa forma, torna-se evidente que os termos da soma formam uma progressão geométrica (PG) infinita com o primeiro termo igual a 3 ($a_1=3$) e razão igual a 2/5 ($q=2/5$).

A soma dos termos de uma PG infinita é dada por:

$\boxed{S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-q}\iff-1<q<1}$

Logo, o valor da soma S será:

$S=\dfrac{3}{1-\frac{2}{5}}=\dfrac{3}{\frac{5-2}{5}}}=\dfrac{3}{\frac{3}{5}}=\dfrac{3}{1}\bigg(\dfrac{5}{3}\bigg)\ \to\ \boxed{S=5}$

Portanto:

$\boxed{S=3+\dfrac{6}{5}+\dfrac{12}{25}+\dfrac{24}{125}+\dots=5}$