Question

Calcular quanto deve ser aumentado o raio de uma esfera para que seu volume aumente 15%.

Answer 1

O volume de uma esfera é dado por:

$\boxed{\boxed{V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}}}$
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Temos uma esfera de raio r e vamos aumentar o raio dela , que será dado por r' = r + x, onde x é o aumento no raio dessa esfera, de modo que seu volume aumente em 15%

Ou seja, o volume da esfera de raio r' será 115% do volume da esfera de raio r:

$V'=115\%~de~V=\dfrac{115}{100}\cdot V=\dfrac{23}{20}\cdot V$

Utilizando a fórmula:

$\dfrac{4}{3}\pi(r')^{3}=\dfrac{23}{20}\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$

Cortando (4/3)π dos dois lados:

$(r')^{3}=\dfrac{23}{20}r^{3}$

Aplicando raiz cúbica nos dois lados:

$\sqrt[3]{(r')^{3}}=\sqrt[3]{\dfrac{23}{20}}\cdot\sqrt[3]{r^{3}}\\\\\\r'=\sqrt[3]{1,15}\cdot r$

Como r' = r + x:

$r+x=r\sqrt[3]{1,15}\\\\x=r\sqrt[3]{1,15}-r\\\\\boxed{\boxed{x=r(\sqrt[3]{1,15}-1)}}$

Aumentou r(∛(1,15) - 1) unidades de comprimento