Question

calcular pelo teorema de laplace o determinante de quarta ordem acima na foto☝ deseja agradeço

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Enzo, que a resolução é simples, mas bastante trabalhosa.
Mesmo você não colocando as opções, vamos tentar encontrar o determinante da matriz da sua questão pelo método de Laplace, que se resume no seguinte: você marca uma fila (ou seja uma linha ou uma coluna) como base, de preferência aquela que tiver mais "zeros", para evitar que se tenha muitos cálculos.
Então digamos que você tenha a seguinte matriz de 4ª ordem e queira encontrar o determinante pelo método de Laplace:

.......|a₁₁...a₁₂...a₁₃...a₁₄|
A = |a₂₁...a₂₂...a₂₃...a₂₄|
......|a₃₁...a₃₂...a₃₃...a₃₄|
......|a₄₁...a₄₂...a₄₃...a₄₄|

Então digamos que você marque a primeira coluna como base. Assim, o determinante "d" será encontrado a partir dos cofatores da coluna marcada da seguinte forma:

d = A₁₁*(-1)¹⁺¹ * |matriz que sobrou| + A₂₁ * (-1)²⁺¹ * |matriz que sobrou| + A₃₁ * (-1)³⁺¹ * |matriz que sobrou| + A₄₁ * (-1)⁴⁺¹ * |matriz que sobrou|.

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então vamos encontrar o determinante (d) da matriz da sua questão, que é esta:

......|1....-1....4....2|
A = |1....2....0....0|
......|0....1....-1....1|
......|2....0....1....2|

Veja: a fila que tem mais zeros será a 2ª linha. Então vamos marcar a 2ª linha como base. Note que, ao marcarmos a 2ª linha como base, vamos ter os seguintes cofatores: A₂₁ = 1, A₂₂ = 2, A₂₃ = 0 e A₂₄ = 0.
Assim, teremos:

d = A₂₁ *(-1)²⁺¹ * |a matriz que sobra ao retirarmos a 2ª linha e a 1ª coluna| + A₂₂ * (-1)²⁺² * |a matriz que sobra ao retirarmos a 2ª linha e a 2ª coluna| + A₂₃ * (-1)²⁺³ * |a matriz que sobra ao retirarmos a 2ª linha e a 3ª coluna| + A₂₄ * (-1)²⁺⁴ * |a matriz que sobra ao retirarmos a 2ª linha e a 4ª coluna|

Como já temos os valores dos cofatores, então vamos substituir, ficando:

d = 1*(-1)³ * |a matriz que sobra ao retirarmos a 2ª linha e a 1ª coluna| + 2* (-1)⁴ * |a matriz que sobra ao retirarmos a 2ª linha e a 2ª coluna| + 0*(-1)⁴..... + 0*(-1)⁵...   Veja que os dois últimos cofatores, como ambos são iguais a zero, então não é nem necessário colocarmos a matriz que sobra, pois, quando multiplicarmos por "zero" o resultado também vai ser "zero". Por isso é que se escolhe a fila que tiver o maior número de zeros.
E vamos colocar no local da matriz que sobra apenas assim: |.....| para evitarmos nos alongar demais. Logo:

d = 1*(-1) * |...........| + 2*(1) * |.......| + 0 + 0 ---- ou apenas:
d = -1 * |........| + 2 * |.........| + 0 + 0          . (I)

Vamos deixar preparada a expressão (I) acima e vamos encontrar os determinantes das matrizes que sobraram relativas aos cofatores A₂₁ e A₂₂.Depois de calculadas, então é só trazer os valores dos respectivos determinantes para a expressão (I) acima:

i) Encontrando a matriz que sobra relativa ao cofator A₂₁ (retira-se a segunda linha e a primeira coluna), ficando a seguinte matriz que já vamos colocar na forma de desenvolver para encontrar o seu determinante (regra de Sarrus):

|(-1)....4....2|(-1)....4|
|1....(-1)....1|1....(-1)| ----- desenvolvendo, teremos:
|0......1.....2|0........1|

d₂₁ = (-1)*(-1)*2+4*1*0+2*1*1 - [0*(-1)*2+1*1*(-1)+2*1*4]
d₂₁ = 2 + 0 + 2 - [0 - 1 + 8]
d₂₁ = 4 - [ 7 ] ---- retirando-se os colchetes, teremos:
d₂₁ = 4 - 7
d₂₁ = - 3 <--- Este é o valor do determinante referente ao cofator A₂₁.

ii) Encontrando a matriz que sobra relativa ao cofator A₂₂ (retira-se a segunda linha e a segunda coluna), ficando a seguinte matriz que já vamos colocar na forma de desenvolver para encontrar o seu determinante (regra de Sarrus):

|1.....4.....2|1.......4|
|0...(-1)....1|0...(-1)| ----- desenvolvendo, teremos:
|2.....1.....2|2.......1|

d₂₂ = 1*(-1)*2+4*1*2+2*0*1 - [2*(-1)*2+1*1*1+2*0*4]
d₂₂ = - 2 + 8 + 0 - [-4+1+0]
d₂₂ = 6 - [-3] ---- retirando-se os colchetes, teremos:
d₂₂ = 6 + 3
d₂₂ = 9 <--- Este é o valor do determinante do cofator A₂₂.

iii) Agora é só levar os valores de cada um desses determinantes para a nossa expressão (I), que é esta:

d = -1 * |........| + 2 * |.........| + 0 + 0 ------ fazendo as devidas substituições:

d = -1*(-3) + 2*9 + 0 + 0 --- ou apenas:
d = 3 + 18
d = 21 <--- Esta deverá ser a resposta para o determinante da matriz de 4ª ordem da sua questão, encontrado pelo método de Laplace.

Veja como é trabalhoso. Por isso é que havíamos pedido pra você colocar as opções, pois na hipótese de que a resposta encontrada não estivesse dentro de nenhuma das opções dadas, então já saberíamos que houve algum erro de cálculo em alguma passagem. Mas veja se, dentre as opções dadas, existe a que é igual a "21" como resposta do determinante da matriz de 4ª ordem da sua questão.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Pelo Teorema de Laplace.

• Pode-se escolher linha ou coluna com mais zeros.
• Calcula-se o cofator.
• Calcula-se o determinante da matriz 4x4.

$\left[\begin{array}{cccc}1&-1&4&2\\1&2&0&0\\0&1&-1&1\\2&0&1&2\end{array}\right]$

Escolhendo a segunda linha por ter menor quantidade de zeros:

a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄

========================================================

a₂₁ = 1

a₂₂= 2

a₂₃ = 0 ⇒ descarta por ser zero

a₂₄ = 0 ⇒ descarta por ser zero

Calculando os cofatores:

A₂₁ = (-1)²⁺¹ . D₂₁

A₂₁ = (-1)³ . $\left[\begin{array}{ccc}-1&4&2\\1&-1&1\\0&1&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&4\\1&-1\\0&1\end{array}\right]$

A₂₁ = (-1) . [(2+2+0)-(0-1+8)]

A₂₁ (-1) . [4-7]

A₂₁ = (-1) .[-3]

A₂₁ = 3

========================================

A₂₂ = (-1)²⁺². D₂₂

A₂₂ = (-1)⁴ . $\left[\begin{array}{ccc}1&4&2\\0&-1&1\\2&1&2\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&4\\0&-1\\2&1\end{array}\right]$

A₂₂ = 1 . [(-2+8+0)-(-4+1+0)]

A₂₂ = 1 . [6 - (-3)]

A₂₂ = 1 . [6+3]

A₂₂ = 1 . 9

A₂₂ = 9

Calculando o determinante da matriz:

D = a₂₁ . A₂₁ + a₂₂ . A₂₂

D = 1 . 3 + 2 . 9

D = 3 + 18

D = 21

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