Question

Calcular os três ângulos internos de um triângulo ABC sabendo que a=2, b=√6 e c= √3+1, usando apenas a Lei dos cossenos.Obrigado.

Answer 1

a²=b²+c²-2×b×c×cosα
4=6+(√3+1)²-2(√6)(√3+1)(cosα)           (√3+1)(√3+1) = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
-6 = 2√3 - 2(3√2+√6)(cosα)
-3= √3 - cosα(3√2 + √6)
(3 + √3)/3√2+√6 = cosα


b² = a² + c² - 2.a.c.cosβ
6 = 4 + 4 + 2√3 - 4(√3+1).cosβ
(2+2√3)/4(√3+1)=cosβ
$\frac{2.(1+ \sqrt{3}) }{4.( \sqrt{3}+1) } = \frac{1}{2} = cos \beta$
Como cosseno é 1/2 em 60º, o ângulo em b é 60º

vamos para c

c² = a² + b² - 2ab.cosC
4 + 2√3 = 10 - 4(√6).cosC
(6 - 2√3)/4(√6)=cosC
$\frac{2(3- \sqrt{3}) }{4( \sqrt{6}) } = \frac{(3- \sqrt{3}) }{2 \sqrt{6} } . \frac{ \sqrt{6} }{ \sqrt{6} } = \frac{(3 \sqrt{3} - 3\sqrt{2}) }{12}$
$\frac{3( \sqrt{3} - \sqrt{2}) }{12} = \frac{( \sqrt{3} - \sqrt{2}) }{4} . \frac{( \sqrt{3} + \sqrt{2}) }{( \sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{1}{4( \sqrt{3}- \sqrt{2}) }$
$(\frac{( \sqrt{3} - \sqrt{2}) }{4} )^{2} +sen ^{2} C=1$
$sen ^{2} C = -(\frac{5 - 2\sqrt{6} }{16} ) + 1 = (\frac{11 + 2\sqrt{6} }{16} )$

Parece que, só utilizando a lei dos cossenos, não vai dar muito certo.

b/senβ=a/senα
√6 × senα = √3
senα = 1/√2 = √2/2 = sen45º
α=45º

Se ABC é um triângulo, então α+β+C = 180º, sendo α=45º e β=60:
45º+60º+C=180º
C=180º-105º
C=75º

sen75º=sen(30º+45º)=sen30º.cos45º+sen45º.cos30º
sen75º= (√2).(√3+1)/4

Então c/senC=a/senα=b/senβ
Prova Real:
c/senC=a/senα=
4(√3+1)/(√2).(√3+1) = 4/√2 = 2√2
b/senβ = √6÷(√3/2) = 2√6/√3 = 2√2
2√2 =a/senα=b/senβ=c/senC

Portanto os ângulos internos do triângulo ABC são 45º, 60º e 75º.