Question

Calcular os limites alguém me ajude

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{ \underset{x\rightarrow4}{\lim}~\dfrac{x^2-16}{x^2-5x+4}=\dfrac{8}{3}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos este limite, podemos utilizar diversos métodos. Neste caso, utilizaremos o mais simples: fatorar as expressões no numerador e no denominador.

Seja o limite $\underset{x\rightarrow4}{\lim}~\dfrac{x^2-16}{x^2-5x+4}$

Veja que podemos reescrever o polinômio no numerador como o produto da soma pela diferença: $a^2-b^2=(a+b)\cdot (a-b)$.

Ficaremos com:

$\underset{x\rightarrow4}{\lim}~\dfrac{(x+4)\cdot(x-4)}{x^2-5x+4}$

O denominador pode ser reescrito na forma canônica. Dado uma equação polinomial de grau 2 de coeficientes reais $ax^2+bx+c=0$, ao encontrarmos suas raízes pela fórmula resolutiva, podemos reescrevê-lo como: $a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$, tal que $x_1$ e $x_2$ são as raízes.

Temos o polinômio $x^2-5x+4=0$

Aplicando a fórmula resolutiva, temos

$x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{9}}{2}$

Sabendo que $9=3^2$, temos

$x=\dfrac{5\pm3}{2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{5-3}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{5+3}{2}$

Some os valores

$x=\dfrac{2}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{8}{2}$

Simplifique as frações

$x=1~~~\mathtt{ou}~~~x=4$

Dessa forma, podemos reescrever: $x^2-5x+4=(x-1)\cdot(x-4)$

Nosso limite se torna:

$\underset{x\rightarrow4}{\lim}~\dfrac{(x+4)\cdot(x-4)}{(x-1)\cdot(x-4)}$

Simplificando a fração, teremos

$\underset{x\rightarrow4}{\lim}~\dfrac{x+4}{x-1}$

Visto que as funções são contínuas no ponto $x=4$, aplicamos as propriedades $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~g(x)}$ e $\underset{x\rightarrow~c}{\lim}~f(x)=f(c)$. Teremos:

$\underset{x\rightarrow4}{\lim}~\dfrac{x+4}{x-1}= \dfrac{\underset{x\rightarrow4}{\lim}~x+4}{\underset{x\rightarrow4}{\lim}~x-1}\\\\\\\\ \dfrac{4+4}{4-1}$

Some os valores

$\dfrac{8}{3}$

Este é o valor do nosso limite.