Question

calcular o volume do solido gerado pela rotação do grafico da função f: (1,infinito) --> R dada por f(x) =3/x^2 em torno do eixo das abcissas

Answer 1

Devemos saber que o volume do sólido gerado por rotação de um gráfico de uma função em torno do eixo das abcissas pode ser dado por: $V=\pi\displaystyle\int^b_a [f(x)]^2dx$. Logo, no caso dado, temos:

$V=\pi\displaystyle\int^b_a [f(x)]^2dx\\\\ V=\pi\displaystyle\int^\infty_1 \left(\dfrac{3}{x^2}\right)^2dx\\\\ V=\pi\displaystyle\int^\infty_1\dfrac{9}{x^4}dx\\\\ V=9\pi\displaystyle\int^\infty_1\dfrac{dx}{x^4}\\\\ V=9\pi\left[\dfrac{x^{-4+1}}{-4+1}\right]^\infty_1=9\pi\left[\dfrac{x^{-3}}{-3}\right]^\infty_1\\\\ V=\dfrac{9}{-3}\pi\left[\dfrac{1}{x^3}\right]^\infty_1\\\\ V=-3\pi\left[\dfrac{1}{\infty^3}-\dfrac{1}{1^3}\right]\\\\ V=-3\pi(0-1)=-3\pi(-1)\\\\ \boxed{V=3\pi~u.v.}$