Question

Calcular o volume do sólido gerado pela rotação do eixo dos x, da região limitada pela parábola
y = 1/4(13 - x) e pela reta y = 1/2(x + 5)

Answer 1

Resposta:

8reais no Fonseca de Lara Resende e vcs como tão as coisas por aí até aqui na Cleusa ainda só vou quando

vc é a evelin vão de manhã no colégio eles

Answer 2

Temos as seguinte funções:

$\sf y = \frac{1}{4} (13 - x {}^{2} ) \: \: \: \: e \: \: \: \: y = \frac{1}{2} (x + 5)$

Para encontrar o volume a partir da rotação da área formada por essas duas funções, devemos usar um dos métodos de calcular volume com integrais, no meu caso eu usarei o método dos discos, que se basea na seguinte relação:

$\sf V = \pi\int \limits_{a}^{b} [ f(x)] {}^{2} dx$

Os limites "a" e "b" são justamente os valores que correspondem ao intervalo que o volume está inserido, no nosso caso é -1 e 3. A função f(x) é justamente a responsável pela área formada, então como temos duas é necessário fazer a subtração delas, logo teremos que:

$\sf V = \pi\int \limits_{a}^{b} [ (f(x) ) {}^{2} - (g(x)) {}^{2} ] dx$

Substituindo os dados que possuímos:

$\sf V =\pi \int \limits_{ - 3}^{1} \left[ \left(\frac{1}{4}(13 - x ){}^{2} \right ) {}^{2} - \left(\frac{1}{2}. (x + 5) \right ) {}^{2} \right] d x\\ \\ \sf V = \pi\int \limits_{ - 3}^{1} \left[\left(\frac{13}{4 } - \frac{x {}^{2} }{4} \right) {}^{2} - \left( \frac{x}{2} + \frac{5}{2} \right) {}^{2} \right] \\ \\ \sf V = \pi\int \limits_{ - 3}^{1} \left[ \left( \frac{13 - x {}^{2} }{4} \right) {}^{2} - \left( \frac{x + 5}{2} \right) {}^{2} \right] dx \\ \\ \sf V =\pi \int \limits_{ - 3}^{1} \left[\frac{169 - 26x {}^{2} + x {}^{4} }{16} - \frac{x {}^{2} + 10x + 25}{4} \right] dx \\ \\ \sf V =\pi \left( \int \limits_{ - 3}^{1} \frac{1}{16}(169 - 26x { }^{2} + x {}^{4} )dx - \int \limits_{ - 3}^{1} \frac{1}{4} (x {}^{2} + 10x + 25)dx\right) \\ \\ \sf V =\pi \left( \frac{1}{16} \int \limits_{ - 3}^{1}(169 - 26x {}^{2} + x {}^{4} )dx - \frac{1}{4} \int \limits_{ - 3}^{1}(x {}^{2} + 10x + 25)dx \right) \\ \\ \sf V =\pi \left( \frac{1}{16}.169x - \frac{1}{16}. \frac{26x { }^{3}}{3} + \frac{1}{16} .\frac{x {}^{5} }{5} - \frac{1}{4} . \frac{x {}^{3} }{3} + \frac{1}{4} . \frac{10x {}^{2} }{2} + \frac{1}{4}.25x \bigg |_{ - 3}^{1}\right)dx \\ \\ \sf V =\pi \left( \frac{169x}{16} - \frac{26x {}^{3} }{48} + \frac{x {}^{5} }{80} - \frac{x {}^{3} }{12} - \frac{10x {}^{2} }{8} - \frac{25x}{4} \bigg |_{ - 3}^{1} \right) \\ \\ \sf V = \frac{169x\pi}{16} - \frac{26\pi x {}^{3} }{48} + \frac{\pi x {}^{5} }{80} - \frac{\pi x {}^{3} }{12} - \frac{\pi 10x {}^{2} }{8} - \frac{25\pi x}{4} \bigg |_{ - 3}^{1}$

Substituindo os limites de integração temos que:

$\sf V = \frac{452\pi}{15} - \frac{52\pi}{3} \\ \\ \sf V = \frac{3.(452\pi) - 15.(52\pi)}{15.3} \\ \\ \sf V = \frac{1356\pi - 780\pi}{45} \\ \\ \sf V = \frac{576\pi}{45} \\ \\ \ \boxed{ \boxed{\sf V = \frac{64\pi}{5} }}$

Espero ter ajudado