Question

Calcular o vetor m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-2,1,m+1)

Answer 1

A formula utilizada para essa questão é essa:

cosθ = $\frac{u*v}{|u|*|v|}$

Sabendo disse vamos resolver:

u*v = (1,-2,1)*(-2,1,m+1)
u*v = - 2 - 2 + m + 1 = m - 3
u*v = m - 3

Agora vamos calcular o módulo de ambos os vetores

|u| = $\sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (1)^2}$
|u| = $\sqrt{6}$

|v| = $\sqrt{(-2)^2 + (1)^2 + (m+1)^2}$
|v| = $\sqrt{4 + 1 + m^2 + 2m + 1}$
|v| = $\sqrt{m^2 + 2m + 6}$

Cos120º = -1/2

Agora que temos todos os dados basta substituir na formula

$\frac{-1}{2} = \frac{m-3}{ \sqrt{6} * \sqrt{m^2+2m+6} }$

Multiplicando em cruz

$- \sqrt{6m^2+12m+36}=2m-6$

Elevando ambos os membros ao quadrado, fica

6m² + 12m + 36 = 4m² - 24m + 36
6m² - 4m² + 12m + 24m + 36 - 36 = 0
2m² + 36m = 0         -> Simplificando por 2
m² + 18m = 0

Chegamos a uma equação do segundo grau incompleta, onde o m é o fator comum, aqui aplica-se o principio do produto nulo, onde diz que se o produto de dois ou mais fatores for nulo então pelo menos um dos fatores é nulo, sabendo disso fica assim:

m(m + 18) = 0
m = 0
m + 18 = 0
m = - 18

Logo, m = 0 ou m = -18

Você pode usar a formula de bhaskara para resolver essa equação do segundo grau incompleta caso não tenha entendido esse metodo que utilizei.

Espero ter ajudado.