Question

Calcular o vetor m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores u=(1,-2,1) e v=(-2,1,m+1)

Answer 1

Primeiro, os dados.

Ф = 120°.
u=(1,-2,1)
v=(-2,1,m+1)
m = ?

⇒ Agora a fórmula usada para ÂNGULOS ENTRE VETORES

Cos Ф  = u . v / |u| . |v|

⇒ Calculando separadamente, vamos para o produto escalar u . v
 u . v = (1,-2,1). (-2,1,m+1)
           = ( 1·(-2)) + -2·1 + 1·(m+1))
           = ( -2 + (-2) + m +1)
           = -2 - 2 + m + 1
           = m - 3

⇒ Agora o módulo de u (1,-2,1)
|u| = √x² + y² + z²
    = √(1)² + (-2)² + (1)²
    = √1 + 4 + 1 = √6

⇒ Módulo de v (-2,1,m+1)
|v| = √x² + y² + z²
    = √(-2)² + (1)² + (m+1)²
    = √4 + 1 + m² + 2m + 1
    = √m² + 2m + 6

⇒ Sabendo disso, substituímos os valores na equação do ângulo.

Cos Ф  = u . v / |u| . |v|
cos 120° = (m - 3) / √6·√m² + 2m + 6
-1/2 = (m - 3) / √6·√m² + 2m + 6
(Multiplicando "cruzado")
2 (m - 3) = - (√6·√m² + 2m + 6)
2m - 6 = - √6m² + 12m + 36
(Eleva ambos lados da igualdade ao quadrado)
(2m - 6)² = - (√6m² + 12m + 36)²
4m² - 24m + 36 = 6m² + 12m + 36
4m² - 6m² - 24m - 12m + 36 - 36 = 0
-2m² - 36m = 0 ·(-1)
2m² + 36m = 0

Usando Báskara.

Δ = b² - 4ac
Δ =  (36)² - 4(2)(0)
Δ = 1296

m = - b + -√Δ /  2a
m = - 36 + - √1296 / 2(2)
m = -36 + - 36 / 4
m¹ = 0/4 = 0
m² = - 72/4 = - 18

Logo, S = { m E R/ m= -18 ou m = 0)