Question

Calcular o valor de S
S = 1/2 + 3/4 + 5/8 + 7/16 + ...

Resposta S = 3

Answer 1

Vamos fazer algumas manipulações algébricas:

$S = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \frac{7}{16}+...\\\\\\2S = 1+ \frac{3}{2} + \frac{5}{4} + \frac{7}{8} +...$

Então, subtraindo a primeira equação na segunda, temos:

$2S-S=1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\frac{5}{4}-\frac{5}{8}+\frac{7}{8}-... \\\\\\S = 1+(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2})+(-\frac{3}{4}+\frac{5}{4})+(-\frac{5}{8}+\frac{7}{8})+... \\\\\\S = 1 +1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + ...$

Mas 1 + 1/2 + 1/4 + ... é a soma infinita da P.G. que tem o primeiro termo 1 e razão 1/2. Para calcular essa soma, usamos a fórmula:

$S_{1} = \frac{a_1}{1-q} \rightarrow S_1 = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \rightarrow S_1 = 2$

Portanto, $S = 1 +1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + ... \rightarrow S = 1 + S_1 = 1+2 \rightarrow S=3$

Logo, a soma é 3