Question

calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas r x=-3t y=3+t

Answer 1

Os pares de retas são:

a) 
   {x = -3t
r: {y = 3 + t
   {z = 4

s: $\frac{x+5}{6} = \frac{y-1}{m}$ ; z = 6

b)
   {x = 2 - 3t
r: {y = 3
   {z = mt

s: $\frac{x-4}{6} = \frac{z-1}{5}$ ; y = 7

Resolução:

a) Vamos transformar a reta s em paramétrica.

Para isso, como $\frac{x+5}{6} = \frac{y-1}{m}$, então:

$q = \frac{x+5}{6}$
6q = x + 5
x = -5 + 6q

$q= \frac{y-1}{m}$
qm = y - 1
y = 1 + qm

Logo, a equação paramétrica de s é:

    {x = -5 + 6q
s: {y = 1 + mq
    {z = 6

Perceba que o vetor direção de r é u = (-3,1,0) e o de s é v = (6,m,0).

Para que as retas sejam paralelas, o produto vetorial u x v tem que ser igual a 0, ou seja,

            |i       j      k|
u x v = |-3    1     0|
           |6      m    0|

u x v = 0i - 0j + (-3m - 6)k = (0,0,-3m-6).

Logo, -3m - 6 = 0 → m = -2.

b) Da mesma forma do item anterior, temos que:

$q= \frac{x-4}{6}$
x = 4 + 6q

$q = \frac{z-1}{5}$
z = 1 + 5q

Logo, a equação paramétrica de s é:

    {4 + 6q
s: {y = 7
    {z = 1 + 5q

O vetor direção de r é u = (-3,0,m) e o de s é v = (6,0,5).

Daí,

            |i      j      k|
u x v = |-3   0     m|
            |6    0     5|
u x v = 0i - (-15 - 6m)j + 0k = (0,15 + 6m,0)

Ou seja, 15 + 6m = 0 → $m = -\frac{5}{2}$