Question

Calcular o produto vetorial a x b para os vetores a = (1, 2 -1) e b= (2i - 3j). Mostre que o produto vetorial obtido é ortogonal a cada um dos vetores dados.

Answer 1

Chamaremos de c o vetor resultante do produto vetorial a x b.

c = a x b
c = (1i + 2j - 1k) x (2i - 2j + 0k)

Criando uma matriz M e fazendo o determinante:

      |  i   j   k  | 
M = | 1   2  -1 |     ;    c = det(M)         
      | 2 -3   0 |              

c = [i . 2 . 0 + j . (-1) . 2 + k . 1 . (-3)] - [j . 1 . 0 + i . (-1) . (-3) + k . 2 . 2]

c = [0 - 2j - 3k] - [0 - 3i + 4k]
c = -2j - 2k + 3i - 4k
c = 3i - 2j - 6k

c = (3, -2, -6)

Para ser ortogonal o produto escalar (a . c) e (b . c) deve ser igual a zero.

a . c = (1, 2, -1) . (3, -2, -6)
a . c = 1 . (3) + 2 . (-2) + (-1) . (-6)
a . c = 3 - 4 + 6
a . c = -1 + 6
a . c = 5  (os vetores "a" e "c" não são ortogonais)

b . c = (2, -1, 0) . (3, -2, -6)
b . c = 2 . 3 + (-1) . (-2) + 0 . (-6)
b . c = 6 + 2 + 0
b . c = 8 (os vetores "b" e "c" não são ortogonais)