Question

Calcular o número de termos da sequência (71, 72, 75, 80, 87,....... 2007) .

Answer 1

Resposta:

Logo, a sequência possui 45 termos (0 a 44)

Explicação passo-a-passo:

an = a1 + ( n - 1)² .r

2007 = (n - 1)² + 71

(n - 1)² = 2007 - 71

(n - 1)² = 1936

n - 1 = √1936

n - 1 = 44

n = 44 + 1

n = 45

se subtrair 71 de todos os termos teremos :

(0, 1, 4, 9, 16, ... , 1936)

pode ser escrito assim :

{ 0² , 1², 2², 3², 4² , 5² , 6²....44²}

Answer 2

Resposta: A sequência possui $45$ (quarenta e cinco) termos.

Explicação passo-a-passo:

O exercício quer saber qual é o número de termos da sequência numérica $(71,\ 72,\ 75,\ 80,\ 87,\ ...\ , 2007)$. Objetivando encontrar algum padrão nela, vamos reescrevê-la. Logo, a sequência acima equivale a:

$(71,\ 71+1,\ 72+3,\ 75+5,\ 80+7, ...,\ 2007)\ \ \ (i)$

É claramente perceptível que na sequência explícita em $(i)$, cada termo, a partir do segundo, é a soma do termo anterior com um número natural ímpar. Os números ímpares a serem somados iniciam-se com o número $1$ e, a cada próximo termo, soma-se ao termo anterior o ímpar subsequente. Perceba que ainda sim não temos o suficiente para determinar o total de termos da sequência, então vamos reescrever $(i)$. Decompondo em soma cada termo da sequência $(71,\ 71+1,\ 72+3,\ 75+5,\ 80+7, ...,\ 2007)$, ficaremos com:

$(71,\ 71+1,\ 71+1+3,\ 71+1+3+5,\ 71+1+3+5+7,\ ...\,71+1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1))\ \ \ (ii)$

De $(ii)$, apenas nos interessa o último termo $a_{n}=71+1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1)$, que por sua vez é igual a $2007$. Ou seja: $a_{n}=71+1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1)=2007\ \ \ (iii)$.   É notório que cada termo $a_{k}$ ($k\ \in\ \mathbb{N^{*}}$) da sequência em $(ii)$ equivale a uma soma de $k$ parcelas, onde uma delas é necessariamente o número $71$ e as outras $k-1$ são números ímpares subsequentes a partir de $1$. Sendo assim, a quantidade de parcelas da soma $a_{n}=71+1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1))=2007$ será o número de termos da sequência $(71,\ 72,\ 75,\ 80,\ 87,\ ...\ , 2007)$. Portanto, de $(iii)$ temos:

$a_{n}=71+1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1)=2007$  ⇒

$71+1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1)=2007$  ⇒

$1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1)=2007-71$  ⇒

$1+3+5+7+\ ...\ +(2n-1)=1936\ ^{*}$  ⇒

$n^{2}=44^{2}$  ⇒

$|n|=44\ \ \ e\ \ \ n\ \in\ \mathbb{N^{*}}$  ⇒

$n=44$

Percebe-se que o n-ésimo termo $a_{n}$ é uma soma de $44$ números ímpares subsequentes a partir do número $1$, mais o número $71$. Sendo assim, o termo $a_{n}$ é uma soma de $44+1=45$ parcelas de números naturais, que por sua vez resulta em $a_{n}=2007$. Posto isto, o termo $a_{n}$ será o termo $a_{45}$, e com isso está provado que a sequência tem $45$ termos.

$^{*}\ S=1+3+5+7+\ ..\ +(2n-1)=n^{2}$. A soma $S$ é obtida somando-se os $n$ primeiros números naturais ímpares.

Abraços!