Question

Calcular o maior número pelo qual dividindo-se 220 e 324, encontramos respectivamente os restos 10 e 30

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{42}}$

Explicação passo-a-passo:

Seja $\displaystyle \mathtt{x}$ o número procurado, $\displaystyle \mathtt{q_1}$ e $\displaystyle \mathtt{q_2}$ seus quocientes nas

divisões propostas no enunciado.

Sabemos que $\displaystyle \boxed{\mathtt{D = d \cdot q + r}}$. Dito isto, temos:

CONDIÇÃO I:

$\\ \displaystyle \mathsf{D = d \cdot q + r} \\ \mathsf{220 = x \cdot q_1 + 10} \\ \mathsf{x \cdot q_1 = 210} \\ \boxed{\mathsf{x \cdot q_1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}}$

CONDIÇÃO II:

$\\ \displaystyle \mathsf{D = d \cdot q + r} \\ \mathsf{324 = x \cdot q_2 + 30} \\ \mathsf{x \cdot q_2 = 294} \\ \boxed{\mathsf{x \cdot q_2 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2}}$

Ao comparar as duas equações em destaque não é difícil perceber que o maior produto dos fatores comuns vale $\displaystyle \mathtt{42 (2 \cdot 3 \cdot 7)}$.

A fim de tornar ainda mais claro o que fora feito, tomemos um caminho algébrico. Isolemos os x's das duas igualdades e o comparemos. Segue,

$\\ \displaystyle \mathsf{x = x} \\\\ \mathsf{\frac{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{q_1} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7^2}{q_2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{5}{q_1} = \frac{7}{q_2}} \\\\\\ \mathsf{\frac{q_1}{q_2} = \frac{5}{7}}$

Por conseguinte, $\displaystyle \mathtt{\forall \, k \in \mathbb{Z_+^{\ast}}}$ tal que

$\displaystyle \displaystyle \mathsf{\frac{q_1}{q_2} = \frac{5k}{7k} \Rightarrow \boxed{\mathsf{q_1 = 5k}} \, \vee \, \boxed{\mathsf{q_2 = 7k}}}$

Substituindo em uma das equações...

$\\ \displaystyle \mathsf{x \cdot q_1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \\\\ \mathsf{x \cdot (5k) = 42 \cdot 5} \\\\ \mathsf{x \cdot k = 42} \\\\ \boxed{\mathsf{x = \frac{42}{k}}}$

Logo, para que $\displaystyle \mathtt{x}$ seja máximo $\displaystyle \mathtt{k}$ deverá ser mínimo. Daí, uma vez que o menor valor para $\displaystyle \mathtt{k}$ é UM, concluímos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{x = \frac{42}{k}} \\\\\\ \mathsf{x = \frac{42}{1}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = 42}}}$