Question

Calcular o logaritmo de um número consiste em descobrir qual é o número que servirá de expoente para a base cujo o resultado deve ser o logaritmando. O logaritmo possui várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia, entre outras. As propriedades do logaritmo são fundamentais para interpretarmos algumas situações do dia a dia.

Answer 1

Resposta:

x = 1/2

Explicação passo a passo:

Logaritmo de a, na base b é igual a x.

$log_{b} (a)=x.................equivalente ........ a =b^{x}$

$a = log_{\frac{1}{3} } (9)$

$9 =(\frac{1}{3} )^{a}$

Observação 1 → Equação exponencial

Para resolver esta equação exponencial vamos fazer com que tenhamos

potências como a mesma base em cada membro da equação.

Cálculos auxiliares

$\dfrac{1}{3} =(\dfrac{1}{3})^{1} =(\dfrac{3}{1})^{-1}=3^{-1}$

9 = 3²

Fim de cálculos auxiliares.

$3^2=(3^{-1} )^{a}$

$3^2=3^{-1*a}$

$3^2=3^{-a}$

Observação 2 → Potências de base igual

Para que duas potências com a mesma base sejam iguais é necessário que

os expoentes sejam iguais entre si.

- a = 2

a = - 2

Segunda fase do cálculo

$log_{16} (a^2)=x$        para a = - 2

$log_{16} ((-2)^2)=x$  

$log_{16} (4)=x$  

$4=16^{x}$        mas 16 é igual a 4²

$4=(4^2)^{x}$  

$4^1=4^{2x}$

Para que duas potências com a mesma base sejam iguais é necessário que

os expoentes sejam iguais, entre si.

2x = 1

x = 1/2

Observação 3 → Potências com expoente "escondido"

Para simplificar a escrita simbólica, os matemáticos consideram que quando uma potência tem expoente 1, ele não é colocado.

Mas está lá sempre que necessário para cálculos.

Exemplo

$4 = 4^1$

Observação 4 → Mudança de sinal do expoente

Inverte-se a base e muda-se o sinal do expoente.

Exemplo

$\dfrac{1}{3} =(\dfrac{1}{3})^{1} =(\dfrac{3}{1})^{-1}=3^{-1}$

Observação 5 →  Potência de potência

Mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes

Exemplo

$(4^2)^{x}= 4^{2*x} =4^{2x}$

Bons estudos.

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( * ) multiplicação         ( / )  divisão