Question

Calcular o limite x-> 1 (raiz 3 na x) -1)/ (raiz 4 na x) -1 ? alguem consegue me ajudar? sem fazer por h'lopital

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Precisamos transformar as raízes para um mesmo índice.

mmc(3,4)=12

Vamos usar por enquanto só a expressão interna

$\dfrac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}=\dfrac{\sqrt[12]{x^{4}}-1}{\sqrt[12]{x^{3}}-1}=\dfrac{(\sqrt[12]{x^{2}})^{2} -1}{(\sqrt[12]{x})^{3}-1}=\dfrac{(\sqrt[12]{x^{2}}-1).(\sqrt[12]{x^{2}}+1)}{(\sqrt[12]{x}-1).(\sqrt[12]{x^{2}}+\sqrt[12]{x}+1)}=$

$=\dfrac{(\sqrt[12]{x}-1).(\sqrt[12]{x}+1).(\sqrt[12]{x^{2}}+1)}{(\sqrt[12]{x}-1).(\sqrt[12]{x^{2}}+\sqrt[12]{x}+1)}=\dfrac{(\sqrt[12]{x}+1).(\sqrt[12]{x^{2}}+1)}{(\sqrt[12]{x^{2}}+\sqrt[12]{x}+1)}$

Agora jogando no limite

$\lim_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt[12]{x}+1).(\sqrt[12]{x^{2}}+1)}{(\sqrt[12]{x^{2}}+\sqrt[12]{x}+1)}=\dfrac{(\sqrt[12]{1}+1).(\sqrt[12]{1^{2}}+1)}{(\sqrt[12]{1^{2}}+\sqrt[12]{1}+1)}=\dfrac{(1+1).(1+1)}{1+1+1}=\dfrac{2.2}{3}=\\\\=\dfrac{4}{3}$