Question

Calcular o limite que segue (imagem anexo).

Só tenho aquelas informações contidas no exercícios.

Answer 1

$f\left(x \right)=x^{2}+5x+1$


$\lim_{h \to 0}\frac{f\left(x+h \right )-f\left(x \right )}{\left(x+h \right )-x}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{\left[\left(x+h \right )^{2}+5\left(x+h \right )+1 \right ]-\left[x^{2}+5x+1 \right ]}{x+h-x}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{\left[\left(x^{2}+2xh+h^{2} \right )+5x+5h+1 \right ]-\left[x^{2}+5x+1 \right ]}{h}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+5x+5h+1-x^{2}-5x-1}{h}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{x^{2}-x^{2}+2xh+h^{2}+5x-5x+5h+1-1}{h}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^{2}+5h}{h}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{h\left(2x+h+5 \right )}{h}\\ \\ =\lim_{h \to 0}\left(2x+h+5 \right )\\ \\ =2x+5$


$\boxed{\lim_{h \to 0}\frac{f\left(x+h \right )-f\left(x \right )}{\left(x+h \right )-x}=2x+5}$