Question

Calcular o limite com raiz no denominador, ajuda pf.

Limite de f(x) quando x tende a 1, sendo f(x)=(x-1)/(raiz quadrada(x+3)-2)

Não consegui tirar as indeterminações, qual método devo usar?

Answer 1

 Olá Jbal!

 A função não está definida em $\mathbf{x = 1}$. Então, não conseguiremos resolver o limite de maneira direta (substituição de x pelo que está tendendo). Uma alternativa é racionalizar... Vejamos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 1} \ f(x) =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \ \frac{x - 1}{\sqrt{x + 3} - 2} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \ \frac{x - 1}{\sqrt{x + 3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x + 3} + 2}{\sqrt{x + 3} + 2} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \ \frac{(x - 1) \cdot (\sqrt{x + 3} + 2)}{(x + 3) - 4} =}$

$\\ \displaystyle \mathsf{\lim_{x \to 1} \ \frac{(x - 1) \cdot (\sqrt{x + 3} + 2)}{x - 1} =} \\\\\\ \mathsf{\lim_{x \to 1} \ \sqrt{x + 3} + 2) =} \\\\\\ \mathsf{\sqrt{1 + 3} + 2 =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{4}}$

 Espero ter ajudado!

Bons estudos.

Answer 2

Olá

$\displaystyle \lim_{x \to 1} ~~ \frac{x-1}{ \sqrt{x+3}-2 } ~=~ \frac{0}{0} \\ \\ \\ \text{Temos uma indeterminacao do tipo 0/0, para sairmos da }\\\text{indeterminacao temos que multiplicar pelo conjugado do denominador.} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~~ \frac{x-1}{ \sqrt{x+3}-2 } ~\cdot~ \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~~ \frac{(x-1)( \sqrt{x+3}+2 )}{ (\sqrt{x+3})^2-(2)^2 } \\ \\ \\ \text{No denominador, a raiz cancela com o expoente .}$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} ~~ \frac{(x-1)( \sqrt{x+3}+2 )}{ x+3-4 } \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~~ \frac{(x-1)( \sqrt{x+3} +2)}{ (x-1) } \\ \\ \\ \text{Veja que podemos cancelar os termos (x-1)} \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~~ \frac{(\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!1)( \sqrt{x+3} +2)}{ (\diagup\!\!\!\!x-\diagup\!\!\!\!1) } \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~~ \frac{1( \sqrt{x+3} +2)}{ 1 } \\ \\ \\ \lim_{x \to 1} ~ \sqrt{x+3}+2~=~ \sqrt{1+3} +2~=~ \sqrt{4}+2~=~ 2+2=~\boxed{4}\leftarrow\text{resposta}$



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