Question

Calcular o limite abaixo

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{27~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos o seguinte limite, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja o limite da função racional:

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{x^3-27}{x-3}$

Podemos reescrever o numerador como a diferença de dois cubos: $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$.

Sabendo que $27=3^3$, temos

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{(x-3)(x^2+3x+3^2)}{x-3}$

Simplifique a fração e calcule a potência

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~x^2+3x+9$

Visto que esta é uma função polinomial, contínua em todo intervalo real, aplicamos a propriedade: $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)=f(c)$

$3^2+3\cdot3+9$

Calcule a potência e multiplique os valores

$9+9+9$

Some os valores

$27$

Este é o resultado deste limite.

Answer 2

Podemos fazer de duas formas :

1ª Fatorando e simplificando :

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-27 }{x-3} }$

sendo

$x^3-27 = (x)^3-(3)^3$

$(x)^3-(3)^3 = (x-3)(x^2+3x+9)$

substituindo :

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-27 }{x-3} } \to \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)}$

$\displaystyle \lim_{x \to 3} x^2+3x+9 = 3^2 +3.3 + 9 = 27$

portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-27 }{x-3} = 27 }$

2ª Usando a regra de L'hospital :

Se ao substituir o valor de x der indeterminações do tipo   $\displaystyle \frac{0}{0}$ ou $\displaystyle \frac{\pm \infty}{\pm \infty}$, então  podemos derivar em cima e embaixo até sumir a indeterminação. No caso :

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-27 }{x-3} } = \frac{3^3-27}{3-3} = \frac{0}{0}$ (indeterminação)

Então vamos derivar em cima e embaixo ^^

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(x^3-27)' }{(x-3)'} \to \lim_{x \to 3} \frac{3x^2 }{1}$

substituindo x = 3

$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{3(3)^2 }{1} = 27$

Portanto :

$\fbox{\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^3-27 }{x-3} = 27 }$