Question

calcular o limite:
1. Lim 3x²-8x-16/2x²-9x+4
x-->4

Answer 1

$\lim_{x \to 4} \frac{3x^2-8x-16}{2x^2-9x+4} = \frac{0}{0}$


uma equação do segundo grau temos a relação entre as raízes r' e r''

$\Bmatrix r'+r''= \frac{-B}{A} \to \text{soma das raizes } \\\\ r'*r'' = \frac{C}{A} \to \text{produto das raizes }\end$

para escrever a equação do segundo grau na forma fatorada podemos fazer:
$\boxed{A(x-r')(x-r'')}$


aplicando isso na questão.

Fatorando o numerador 3x²-8x-16 
quando vc substituiu x por 4 no numerador o resultado deu 0 , isso significa que 4 é uma das raízes da equação ou seja r'=4

usando o produto das raízes para encontrar r''

$r'*r'' = \frac{C}{A} \\\\ 4*r''= \frac{-16}{3} \\\\r''= \frac{-16}{4*3} \\\\r''= \frac{-4}{3}$

agora escrevendo a equação do numerador na forma fatorada temos:
$3x^2-8x-16 = 3(x-4)(x- \frac{-4}{3})\\\\ \boxed{\boxed{ 3x^2-8x-16 = 3(x-4)\left (x+ \frac{4}{3} \right ) \to \text{equacao na forma fatorada}}}$


repetindo o processo no denominador 2x²-9x+4
uma das raízes tbm é x=4
$4*r''= \frac{4}{2} \\\\\boxed{r''= \frac{1}{2}} \\\\\\\\ \boxed{\boxed{2x^2-9x+4 = 2(x-4)\left (x- \frac{1}{2} \right )}}$


reescrevendo o limite
$\lim_{x \to 4} \frac{3x^2-8x-16}{2x^2-9x+4} \\\\ = \lim_{x \to 4} \frac{3(x-4)\left (x+ \frac{4}{3} \right )}{ 2(x-4)\left (x- \frac{1}{2} \right )}\\\\ = \lim_{x \to 4} \frac{3\left (x+ \frac{4}{3} \right )}{ 2\left (x- \frac{1}{2} \right )}= \frac{3\left (4+ \frac{4}{3} \right )}{ 2\left (4- \frac{1}{2} \right )}= \frac{16}{7}$