Question

calcular o cos (arc sen 1/3)

Answer 1

Calcular  cos(arcsen(1/3)).


Uma forma bem simples e até didática é desenhar um triângulo retângulo, onde um dos catetos mede  1  e a hipotenusa mede  3.  Veja a figura em anexo.

Claramente, vemos que

     $\mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{\mathsf{cateto~oposto~ao~\hat{a}ngulo~}\theta}{\mathsf{hipotenusa}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad \theta=\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)$


Para encontrar  cos θ,  aplique a relação trigonométrica fundamental:

     $\cos^2\theta+\mathrm{sen^2\,}\theta=1\\\\\\ \cos^2\theta=1-\mathrm{sen^2\,}\theta\\\\\\ \cos^2\theta=1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\!2}\\\\\\ \cos^2\theta=1-\dfrac{1}{9}\\\\\\ \cos^2\theta=\dfrac{9-1}{9}\\\\\\ \cos^2\theta=\dfrac{8}{9}$

     $\cos\theta=\sqrt{\dfrac{8}{9}}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{\sqrt{8}}{3}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


Portanto,

     $\cos\!\left[\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\right]=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$


Você poderia obter esse resultado também aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo para encontrar a medida do outro cateto. Depois, basta aplicar a relação

     $\cos\theta=\dfrac{\mathsf{cateto~adjacente~ao~\hat{a}ngulo~}\theta}{\mathsf{hipotenusa}}\\\\\\ \cos\theta=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

     $\cos\!\left[\mathrm{arcsen}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)\right]=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

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$\sf cos\bigg(\bigg~arc~sen\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)\bigg)\\\sf fac_{\!\!,}a~arcsen\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)=\theta\implies sen(\theta)=\dfrac{1}{3}\\\sf cos\bigg(arc~sen\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)\bigg)=cos(\theta)\\\sf sen^2(\theta)+cos^2(\theta)=1\\\sf \\\sf\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)^2+cos^2(\theta)=1\\\sf\dfrac{1}{9}+cos^2(\theta)=1\\\sf cos^2(\theta)=1-\dfrac{1}{9}\\\sf cos^2(\theta)=\dfrac{8}{9}\\\sf cos(\theta)=\sqrt{\dfrac{8}{9}}\\\sf cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}$

$\sf cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{4\cdot2}}{\sqrt{9}}\\\sf cos(\theta)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\blue{\checkmark}\\\rm logo\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf cos\bigg(arc~sen\bigg(\dfrac{1}{3}\bigg)\bigg)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}}}}\blue{\checkmark}$