Question

Calcular o comprimento de um arco com curva plana por:

Answer 1

Conteúdo:

      ➡️  Comprimento de um arco com curva plana.

✏️ Resolução:

• Para resolver, há uma equação diz exatamente para este problema que é está fórmula:

$\huge {\boxed { \sf S = \int\limits^a_b \sqrt{1 + \left | f' (x) \right | ^2} dx }}$

• Inicialmente iremos resolver o exercício A), tendo essa equação fazemos a derivada de $\large { \sf \cfrac {x^4} {4} + \cfrac{1}{8x^2} }$, então:

$\large { \sf y' = x^3 - \cfrac{1}{4x^3} }$

• Agora substituiremos:

$\large {\text { \sf \displaystyle \int\limits^2_ 1 \sqrt{1+ \left ( x^3 - \cfrac{1}{4x^3} \right) ^2 } dx }}$

• Fazendo está integral ficará:

                     $\large {\boxed {\boxed {\bf \cfrac{123}{32} }}}$

Exercício B:

• Tendo em mente a mesma ideia do exercício A), temos:

$\large { \sf y = x^2 \rightarrow y'= 2x }$

$\large { \sf \displaystyle \int\limits^2_0 \sqrt{1+(2x)^2} dx }$

• Como a integral é grande, mostrarei a resolução da integral.

       Aplica integração por substituição:

            $\large { \sf x = \cfrac{1}{2}\: tan (u) }$

                           $\large {\sf \searrow }$

                                  $\large { \sf \displaystyle \int\limits _0^{\arctan \left(4\right)}\cfrac{1}{2}\: sec ^3\left(u\right)du }$

• Remova a constante:

$\large { \sf \cfrac{1}{2} \cdot \displaystyle \int\limits^{arctan(4)}_ 0 sec^3(u) \: du }$

• Aplica a redução de integrais:

$\large { \sf \cfrac{1}{2} \left( \left[\cfrac{sec ^2\left(u\right) sin \left(u\right)}{2}\right]^{arctan \left(4\right)}_0+ \cfrac{1}{2}\cdot \displaystyle \int\limits _0^{arctan \left(4\right)} sec \left(u\right)du\right) }$

$\large { \sf \displaystyle \int\limits _0^{arctan \left(4\right)} sec \left(u\right)du = ln \left( 4 + \sqrt{17} \right) }$

__________________________________

$\large { \sf \cfrac{1}{2}\left(\left[\cfrac{sec ^2\left(u\right) sin \left(u\right)}{2}\right]^{arctan \left(4\right)}_0+\cfrac{1}{2} ln \left(4+\sqrt{17}\right)\right) }$

• Simplifica:

$\large { \sf \cfrac{1}{2}\left(\left[\cfrac{1}{2}\: sec \left(u\right) tan \left(u\right)\right]^{ arctan \left(4\right)}_0+\cfrac{1}{2}\: ln \left(4+\sqrt{17}\right)\right) }$

• Calcula os limites:

$\large { \sf \cfrac{1}{2}\left(2\sqrt{17}+\cfrac{1}{2} \: ln \left(4+\sqrt{17}\right)\right) }$

• Simplifica:

$\large {\boxed {\boxed {\bf \sqrt{17}+\frac{1}{4} \: ln \left(4+\sqrt{17}\right) }}}$

Veja mais em:

• https://brainly.com.br/tarefa/38256990

• https://brainly.com.br/tarefa/38600310

Answer 2

• o comprimento de arco de uma curva plana usando a sua equação cartesiana é:

                         $\boxed{\boxed{S= \int\limits^a_b {\sqrt{1+[f'(x)]^2} } \, dx }}$

                                                                                                                                 

  a)                            $y= \frac{x^4}{4} + \frac{1}{8x^{2} } , 1\leq x\leq 2$

Vamos derivar $y=f(x)$ .

$y'=\frac{d}{dx} (\frac{x^4}{4} +\frac{1}{8x^{2} } )= \frac{d}{dx} (\frac{x^4}{4} )+\frac{d}{dx} (\frac{1}{8x^{2} } )= \frac{d}{dx} (\frac{1}{4} .x^4)+\frac{d}{dx} (\frac{1}{8} .\frac{1}{x^{2} } )= (\frac{1}{4} ).\frac{d}{dx} ( x^4)+(\frac{1}{8} ).\frac{d}{dx} (\frac{1}{x^{2} } )= \frac{1}{4} .4x^3 + \frac{1}{8} .-2x^{-3}= x^3-\frac{1}{4x^3}}$

Vamos construir nossa integral definida com  $1\leq x\leq 2$.

                        $\boxed{S=\int\limits^2_1 {\sqrt{1+[x^3-\frac{1}{4x^3} ]^2} } \, dx}$

$[x^3-\frac{1}{4x^3}]^2=[x^3-\frac{1}{4x^3}].[x^3-\frac{1}{4x^3}] = x^6-\frac{x^3}{4x^3} -\frac{x^3}{4x^3}+ \frac{1}{16x^6} = x^6-\frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{16x^6} =x^6-\\\\2.\frac{1}{4} + \frac{1}{16x^6} = x^6-\frac{1}{2} + \frac{1}{16x^6}$

Logo:

$S= \int\limits^2_1 {\sqrt{1+ x^6-\frac{1}{2} +\frac{1}{16x^6} } } \, dx = \int\limits^2_1 {\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{16x^6}+x^6} } \, dx = \int\limits^2_1 {\sqrt{\frac{8x^6+1+16x^{12}}{16x^6}} } \, dx \\\\=\int\limits^2_1 {\frac{\sqrt{8x^6+1+16x^{12}}}{4x^3}} \, dx = \frac{1}{4x^3} .\int\limits^2_1 {\sqrt{8x^6+1+16x^{12}} \, dx$

$u=8x^6+1+16x^{12}\\\\du = 192x^{11}+48x^5 .dx \\\\\\dx= \frac{du}{192x^{11}+48x^5}$

Fazendo a substituição:

$S= \frac{1}{4x^3} .\int\limits^2_1 {\sqrt{u} } \, .\frac{1}{192x^{11}+48x^5} .du=\frac{1}{4x^3(192x^{11}+48x^5)} .\int\limits^2_1 {\sqrt{u} } \, du$

$u=8x^6+1+16x^{12}$      quando x = 1,  u= 8.1+1+16.1 = 25

$u=8x^6+1+16x^{12}$  

  quando x = 2, u=  8. 64 +1+ 16. 4096 = 512 + 1 +65536= 66049

$\frac{1}{4x^3(192x^{11}+48x^5)} .\int\limits^{66049}_{25} {\sqrt{u} } \, du = \frac{1}{4x^3(192x^{11}+48x^5)} .11316312=\frac{11316312}{4x^3(192x^{11}+48x^5)}$

Resposta:    $\frac{11316312}{4x^3(192x^{11}+48x^5)}$

                                                                                                                                 

Vamos fazer a mesma coisa para  $y=x^{2} , 0\leq x\leq 2$

                      $\boxed{\boxed{S= \int\limits^a_b {\sqrt{1+[f'(x)]^2} } \, dx }}$

y' = 2x

Logo:

$\int\limits^2_0 {\sqrt{1+(2x)^2} } \, dx = \int\limits^2_0 {\sqrt{1+4x^{2} } \, dx$

u = 1+4$x^{2}$

$du = 8x. dx\\\\\frac{du}{8x} =dx$

$\int\limits^2_0 {\sqrt{u} } \, \frac{1}{8x} . du= \frac{1}{8x} .\int\limits^2_0 {\sqrt{u} } \, du$

$u= 1+4x^{2}$  quando x = 0, u = 1

$u= 1+4x^{2}$  quando x = 2 ,  u = 17

$\frac{1}{8x} . \int\limits^{17}_1 {\sqrt{u} } \, du = \frac{1}{8x} .\frac{34\sqrt{17}}{3}-\frac{2}{3}$

Resposta: $\frac{1}{8x} .\frac{34\sqrt{17}}{3}-\frac{2}{3}$