Question

Calcular o comprimento da tangente exterior, comum a duas circunferências tangentes externas de raios 4 cm e 9 cm. ?

Answer 1

Veja as duas figuras em anexo para melhor compreensão.

$\bullet\;\;$ Observe a primeira figura. De acordo com o enunciado do problema, deseja-se calcular a medida do segmento $\overline{CD}$. Chamaremos essa medida de $x$:

$\text{med}\left(\overline{CD} \right )=x$


$\bullet\;\;$ $\overline{AP}$ e $\overline{AD}$ são raios do círculo menor. Então,

$\text{med}\left(\overline{AP} \right )=\text{med}\left(\overline{AD} \right )=4\text{ cm}$


$\bullet\;\;$ $\overline{BP}$ e $\overline{BC}$ são raios do círculo maior. Então,

$\text{med}\left(\overline{BP} \right )=\text{med}\left(\overline{BC} \right )=9\text{ cm}$


$\bullet\;\;$ Sendo assim, podemos montar um trapézio retângulo $ABCD$, A base maior é $\overline{BC}$, a base menor é $\overline{AD}$ e a altura é $\overline{CD}$.

Observe a segunda figura. Nela isolamos o trapézio $ABCD$. Daí, tiramos que

$\text{med}\left(\overline{AB} \right )=\text{med}\left(\overline{AP} \right )+\text{med}\left(\overline{PB} \right )\\ \\ \text{med}\left(\overline{AB} \right )=4+9=13\text{ cm}\\ \\ \\ \text{med}\left(\overline{BC} \right )=\text{med}\left(\overline{BQ} \right )+\text{med}\left(\overline{QC} \right )\\ \\ 9=\text{med}\left(\overline{BQ} \right )+4\\ \\ \text{med}\left(\overline{BQ} \right )=9-4=5\text{ cm}\\ \\ \\ \text{med}\left(\overline{AQ} \right )=\text{med}\left(\overline{CD} \right )=x$


Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $ABQ$ da segunda figura, temos:

$5^{2}+x^{2}=13^{2}\\ \\ x^{2}=169-25\\ \\ x^{2}=144\\ \\ x=\sqrt{144}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c} x=12\text{ cm} \end{array}}$

Answer 2

Inicialmente, vamos considerar o problema resolvido:
Temos uma circunferência de centro A e raio (r1) igual a 4 cm e uma circunferência de centro B e raio (r2) igual a 9 cm, tangentes exteriormente entre si e um segmento definido pelos pontos Ta e Tb, respectivamente os pontos de tangência sobre as circunferências de centro A e B, que é o comprimento pedido pela questão. [1]

Vamos agora traçar uma terceira circunferência, de centro B e raio (r3) igual à diferença entre os raios das duas circunferências:
r3 = r2 - r1
r3 = 9 cm - 4 cm
r3 = 5 cm

Traçando-se pelo ponto A um tangente a esta terceira circunferência (B, 5 cm), obteremos sobre ela o ponto de tangência T e, pela definição de reta tangente a uma circunferência, o ângulo ATB será igual a 90º e o triângulo ATB será retângulo.
Neste triângulo, AT é o cateto com o comprimento da tangente que estamos tentando obter, BT é o outro cateto e AB é a sua hipotenusa. Assim, se aplicarmos o Teorema de Pitágoras a este triângulo, teremos:
AB ² = AT² + BT²
AT² = AB² - BT²

Como a distância entre os pontos A e B é igual à soma dos raios das duas circunferências (4 cm e 9 cm), pois elas são tangentes, e como BT é igual ao raio da circunferência de centro B (5 cm) ficamos com:
AT² = (4 + 9)² - 5²
AT² = 13² - 25
AT² = 169 - 25
AT = √144
AT = 12 cm, comprimento da tangente traçada pelo ponto A à circunferência de centro B e raio igual a 5 cm.

Se observarmos a situação inicial, proposta em [1] e a ela adicionarmos esta conclusão, verificamos que os pontos Ta, Tb, A e T definem um retângulo e, como tal, os lados opostos são iguais. Então, o segmentos definido pelos pontos Ta e Tb é igual ao segmento definido pelos pontos A e T:
TaTb = AT
TaTb = 12 cm, comprimento da tangente exterior comum às duas circunferências.