Question

calcular limite quando x tende para 2 de (8-x^3) : (x^2 - 2x)

Answer 1

Queremos avaliar o limite dado por

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{8-x^3}{x^2-2x}$

Perceba que se tentarmos substituir simplesmente obtemos uma indeterminação 0/0, isso nos diz que 2 é raiz dos polinômios do numerador e do denominador, portanto, ambos são da forma

$8-x^3 = (x-2)*p(x)$

$x^2-2x = (x-2)*q(x)$

Onde p(x) e q(x) são polinômios, deste modo, nosso limite, substituindo o que acabamos de obter, torna-se

$\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)p(x)}{(x-2)q(x)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{p(x)}{q(x)}$

Nosso desafio agora é encontrar p e q. Perceba que o q é muito mais fácil, já que x² - 2x pode ser fatorado em

$x^2-2x = x(x-2) \implies q(x) = x$

p(x) também não é difícil se lembrarmos de outro produto notável que diz que

$(k^n-x^n) = (k-x)(k^{n-1}+k^{n-2}x+\dots+kx^{n-2}+x^{n-1})$

No nosso caso,

$(2^3-x^3) = (2-x)(2^2+2x+x^2) = -(x^2+2x+4)(x-2) \implies p(x) = -x^2-2x-4$

Assim, nosso limite,

$\displaystyle\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{8-x^3}{x^2-2x} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{-x^2-2x-4}{x} = \frac{-12}{2} = -6$

$\displaystyle \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow 2} \frac{8-x^3}{x^2-2x} = -6$