Question

calcular integral dupla y dx dy sendo R delimitado por x2+y2-4x=0

Answer 1

Calcular $\displaystyle\iint\limits_{R}{y\,dx\,dy},$ onde $R$ é a região interior à circunferência $x^{2}+y^{2}-4x=0$


Completando os quadrados para a equação da circunferência, temos

$x^{2}-4x+16+y^{2}=16\\ \\ (x-4)^{2}+y^{2}=16$


Como a região de integração é um disco, vamos mudar para coordenadas polares. Vou escolher a mudança sem translação da origem:

$\begin{array}{cc} \left\{ \begin{array}{c} x=r\cos \theta\\ \\ y=r\mathrm{sen\,}\theta \end{array} \right.\;\;&\;\; \begin{array}{c} -\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\\ \\ 0\leq r \leq 4\cos \theta \end{array} \end{array}$


O módulo do Jacobiano desta transformação é $|\text{Jac\,}\varphi|=r.$


$\bullet\;\;$ Para encontrar os limites de integração das variáveis, veja que a região só tem pontos no quarto e primeiro quadrantes. Logo,

$-\frac{\pi}{2}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$


Para encontrar os limites da variável $r,$ Substituimos as coordenadas polares na equação do disco:

$x^{2}+y^{2}-4x\leq 0\\ \\ (r\cos \theta)^{2}+(r\mathrm{sen\,}\theta)^{2}-4r\cos \theta\leq 0\\ \\ r^{2}\,(\cos^{2}\theta+\mathrm{sen^{2}\,}\theta)-4r\cos \theta\leq 0\\ \\ r^{2}\leq 4r\cos \theta\\ \\ 0\leq r\leq 4\cos \theta$


Então, a integral fica

$\displaystyle\iint\limits_{R}{y\,dx\,dy}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{4\cos \theta}{(r\,\mathrm{sen\,}\theta)\cdot |\text{Jac\,}\varphi|\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{4\cos \theta}{(r\,\mathrm{sen\,}\theta)\cdot r\,dr\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int\limits_{0}^{4\cos \theta}{r^{2}\,\mathrm{sen\,}\theta\,dr\,d\theta}$


$=\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sen\,}\theta\cdot\,\left.\dfrac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{4\cos \theta}\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sen\,}\theta\cdot\,\left[\dfrac{(4\cos\theta)^{3}-0^{3}}{3} \right ]\,d\theta}\\ \\ \\ =\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\mathrm{sen\,}\theta\cdot\,\left[\dfrac{64\cos^{3}\theta}{3} \right ]\,d\theta}\\ \\ \\ =\dfrac{64}{3}\displaystyle\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{3}\theta\,\mathrm{sen\,}\theta\,d\theta}$


$=-\dfrac{64}{3}\cdot \left.\dfrac{\cos^{4}\theta}{4}\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\ \\ \\ =0$