Question

calcular integral de e^x*cos(x) dx

Answer 1

$\int\ { e^{x} cox(x) } \, dx$

Esta integral indefinida se resolve por partes. Assim, temos que chamar de u a função mais fácil de derivar, e chamar de dv a função mais fácil de integrar. para depois usarmos em:

$\int\ {u } \, dv = u . v - \int\ {v} \, du$

Aqui, seria conveniente fazer: $u = 3^{x}$ e $dv = cos(x) dx$

Ja temos u e temos dv. Vamos encontrar du e depois  v, para substituir na fórmula acima:

$u = e^{x} \\ du = e^{x} dx \\ \\ dv = cos(x)dx \\ v = \int\ {cos(x)} \, dx \\ v = sen(x)$

Substituindo na fórmula:

$\int\ {u } \, dv = u . v - \int\ {v} \, du$
$\int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) - \int\ {e^{x}sen(x)} \, dx$

Nos deparamos com uma nova integral do mesmo tipo, então vamos fazer o mesmo, por partes. Eu recomendo agora utilizar outras letras diferentes de u e v, para não confundir, mas se vc acha que não vai, pode usar as mesmas, mas esteja certo de que agora é para aquela segunda integral.

$u = e^{x} \\ du = e^{x} dx \\ \\ dv = sen(x)dx \\ v = \int\ {sen(x)} \, dx \\ v = - cos(x)$

Agora basta fazer o mesmo, substituindo na fórmula. Vamos recopiar tudo que fizemos, ja substituindo a ultima integral (Lembrando que no final de cada integral há uma constante C, mas colocarei apenas no final, para não atrapalhar)

$\int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) - \int\ {e^{x}sen(x)} \, dx \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) - [e^{x}(-cos(x)) - \int\ {-cos(x)e^{x}} \, dx ] \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) - \int\ {e^{x}cos(x)} \, dx$

Note que agora, a integral principal e a ultima são iguais...então podemos "passá-la" para o primeiro membro:

 $\int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) - \int\ {e^{x}cos(x)} \, dx \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx + \int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) \\ 2\int\ e^{x}cos(x) \, dx = e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x) \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx = \frac{e^{x}sen(x) +e^{x}cos(x)}{2} \\ \int\ e^{x}cos(x) \, dx = \frac{e^{x}}{2}(sen(x) +cos(x)) + C$

Portanto, 

$\int\ e^{x}cos(x) \, dx = \frac{e^{x}}{2}(sen(x) +cos(x)) + C$

Espero ter ajudado. Abraço

Answer 2

Resposta:

Não entendi porque na terceira resolução os sinais de dentro da integral não mudou em função do sinal negativo de fora.

Explicação passo-a-passo: