Question

Calcular integrais, alguém sabe?

Answer 1

$~\huge\mid{\boxed{\bf{\blue{Matem\acute{a}tica}}}\mid}$

A) $∫\frac{ {4x}^{2} }{ {x}^{3} + 1 } dx$

• Transforme o integral usando a substituição t = x³ + 1

$\[ \int_{}^{} \frac{ {4x}^{2} }{ {x}^{3} + 1} \times \frac{1}{ {3x}^{2} } \,dt \]$

$\[ \int_{}^{} \frac{4\cancel{  {x}^{2} }}{ {x}^{3} + 1} \times \frac{1}{3\cancel{  {x}^{2} }} \,dt \]$

$\[ \int_{}^{} \frac{4}{ {x}^{3} + 1} \times \frac{1}{3} \,dt \]$

• Multiplique as duas frações

$\[ \int_{}^{} \frac{4}{3( {x}^{3} + 1)} \,dt \]$

• Substitua x³ + 1 por t

$\[ \int_{}^{} \frac{4}{3t} \,dt \]$

• Use a propriedade do integral: $\[ \int_{}^{} x \times y(x) \,dx \] = x \times\[ \int_{}^{} f(x) \,dx \] \: , \: x∈\mathbb{IR}$

$\frac{4}{3} \times \[ \int_{}^{} \frac{1}{t} \,dt \]$

• Resolva o integral usando: $\[ \int_{}^{} \frac{1}{x} \,dx \] = In ( |x| )$

$\frac{4}{3} \times In( | \: t \: | )$

• Devolva a substituição t = x³ + 1

$\frac{4}{3 } \times In( | {x}^{3} + 1| )$

• Faça a soma da constante de integração $C∈\mathbb{IR}$

Resposta: $\color{green} \boxed{{  \frac{4}{3} \times In( | {x}^{3} + 1 | ) +C \: , \: C∈\mathbb{IR} }}$

B) $\[ \int_{}^{} ( {x}^{2} + 2x + 1) {e}^{5x} \,dx \]$

• Prepare para integrar por partes definindo u e dv

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: u = {x}^{2} + 2x + 1 \\ dv = {e}^{5x} dx$

• Calcule a diferença usando du = u'dx

$du = ( {x}^{2} + 2x + 1)'dx \\ dv = {e}^{5x} dx$

• Use a Regra da Derivação: $(y+ x)' = y' + x'$

$du = (( {x}^{2} )' + (2x)' + (1)')dx \\ dv = {e}^{5x} dx$

• Encontre a Derivada

$du = (2x + 2 + 0)dx \\ dv = {e}^{5x} dx$

$du = (2x + 2)dx \\ dv = {e}^{5x} dx$

• Expanda a expressão matemática

$du = (2x + 2)dx \\ 1dv = {e}^{5x} dx$

• Calcule a integral em ambos da inequação

$du = (2x + 2)dx \\\[ \int_{}^{} 1dv =\[ \int_{}^{} {e}^{5x} \, \] \,dx \]$

• Usando $\[ \int_{}^{} 1dx = x \, \]$ , Resolva a integral

$du = (2x + 2)dx \\ v = \[ \int_{}^{} {e}^{5x} \,dx \]$

• Calcule a integral indefinida

$du = (2x + 2)dx \\ v = \frac{ {e}^{5x} }{5}$

Substitua u = x² + 2x + 1, $v = \frac{ {e}^{5x} }{5} ,du = (2x + 2)dx$ e $dv = {e}^{5x} dx$ em $\[ \int_{}^{} u \: dv = uv \, \] - \[ \int_{}^{} v \,du \]$

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{5x} }{5} - \[ \int_{}^{} \frac{ {e}^{5x} }{5} \times (2x + 2) \,dx \]$

• Calcule a multiplicação

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{5x} }{5} - \[ \int_{}^{} \frac{ {e }^{5x} \times (2x + 2)}{5} \,dx \]$

• Multiplique cada termo por ${e}^{5x}$

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{5x} }{5} - \[ \int_{}^{} \frac{2x {e}^{5x} + 2 {e}^{5x} }{5} \,dx \]$

• Coloque o fator 2 em evidência

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{5x} }{5} - \[ \int_{}^{} \frac{2(x {e}^{5x} + {e}^{5x}) }{5} \,dx \]$

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{5x} }{5} - \frac{2}{5} \times \[ \int_{}^{} {xe}^{5x} + {e}^{5x} \,dx \]$

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{5x} }{5} - \frac{2}{5} \times (\[ \int_{}^{} {xe}^{5x}dx + \[ \int_{}^{} {e}^{5x} \,dx \] \, \])$

• Calcule o integral indefinido usando a fórmula parcial. Para fazer a propriedade do integral.

$( {x}^{2} + 2x + 1) \times \frac{ {e}^{x} }{5} - \frac{2}{5} \times ( \frac{x {e}^{5x} }{5} - \frac{ {e}^{5x} }{25} + \frac{ {e}^{5x} }{5} )$

• Simplifique

$\frac{25 {x}^{2} e {}^{5x} + 40x {e}^{5x} + 17 {e}^{5x} }{125}$

Resposta: $\color{green} \boxed{{  \frac{ {25x}^{2} {e}^{5x} + 40x {e}^{5x} + 17 {e}^{5x} }{125} + C,C∈\mathbb{IR} }}$

${\huge\boxed { {\bf{E}}}\boxed { \red {\bf{a}}} \boxed { \blue {\bf{s}}} \boxed { \gray{\bf{y}}} \boxed { \red {\bf{}}} \boxed { \orange {\bf{M}}} \boxed {\bf{a}}}{\huge\boxed { {\bf{t}}}\boxed { \red {\bf{h}}}}$