Question

Calcular f'(p) usando definição de derivada.
Resposta= 4

Answer 1

Temos o seguinte:

$f(x) = 2x^3 -x^2 \\ \\ f'(1) = ?$

Utilizando a definição de derivada:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)^3 - (x+h)^2 - (2x^3 - x^2)}{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - (x^2 + 2xh + h^2) - (2x^3 - x^2)}{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 - x^2 - 2xh - h^2 - 2x^3 + x^2}{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3 - 2xh - h^2 }{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} \frac{ h(6x^2 + 6xh + 2h - 2x - h) }{h} \\ \\ \lim_{h \to 0} 6x^2 + 6xh + 2h - 2x - h$

Logo:

$\lim_{h \to 0} 6x^2 + 6xh + 2h - 2x - h = 6x^2 -2x$

Portanto:

$f'(x) = 6x^2 - 2x \\ \\ f'(1) = 6 \cdot 1 ^2 - 2 \cdot 1 \\ \\ f'(1) = 6 - 2 \\ \\ f'(1) = 4$