Question

Calcular área da região sombreada, com explicação por favor

Answer 1

Resposta:

c)$3(4\pi - 3\sqrt {3}) {cm}^2$

d)$3(3\sqrt {3} - \pi) {cm}^2$

Explicação passo-a-passo:

c) Conforme a primeira figura anexa, para calcular a altura (H) de um triângulo equilátero, utilizamos a equação $H = \frac {l.\sqrt {3}}{2}$, em que $l$ é a medida do lado desse triângulo. Já que, neste caso, o lado mede 6, a altura vale:

$H = \frac {6.\sqrt {3}}{2} = 3\sqrt {3} cm$

Também de acordo com a primeira imagem em anexo, o raio da circunferência circunscrita (R) a um triângulo equilátero equivale a 2/3 da altura desse triângulo. Dessa forma, neste caso, a medida de tal raio é:

$R = \frac {2H}{3} = \frac {2.3\sqrt {3}}{3} = 2\sqrt {3} cm$

Agora, para calcular a área da circunferência circunscrita àquele triângulo equilátero, fazemos o seguinte cálculo:

$Ac = \pi . {R}^2 = \pi . ({2\sqrt {3}})^2 = \pi . 4 . 3 = 12\pi {cm}^2$

Por sua vez, a área do triângulo equilátero é obtida por meio das contas abaixo:

$At =\frac {{l}^2.\sqrt {3}}{4} = \frac{{6}^2.\sqrt {3}}{2} =\frac {36.\sqrt {3}}{4}= 9\sqrt {3} {cm}^2$

Por fim, a área da região sombreada corresponde à diferença entre a área da circunferência e a área do triângulo:

$As = Ac - At = 12\pi - 9\sqrt {3} =3(4\pi - 3\sqrt {3}) {cm}^2$

d) Conforme a segunda figura anexa, para calcular a altura (H) de um triângulo equilátero, utilizamos a equação $H = \frac {l.\sqrt {3}}{2}$, em que $l$ é a medida do lado desse triângulo. Já que, neste caso, o lado mede 6, a altura vale:

$H = \frac {6.\sqrt {3}}{2} = 3\sqrt {3} cm$

Também de acordo com a segunda imagem em anexo, o raio da circunferência inscrita (R) em um triângulo equilátero equivale a 1/3 da altura desse triângulo. Dessa forma, neste caso, a medida de tal raio é:

$R = \frac {H}{3} = \frac {3\sqrt {3}}{3} = \sqrt {3} cm$

Agora, para calcular a área da circunferência inscrita naquele triângulo equilátero, fazemos o seguinte cálculo:

$Ac = \pi . {r}^2 = \pi . ({\sqrt {3}})^2 = \pi . 3 = 3\pi {cm}^2$

Por sua vez, a área do triângulo equilátero é obtida por meio das contas abaixo:

$At =\frac {{l}^2.\sqrt {3}}{4} = \frac{{6}^2.\sqrt {3}}{2} =\frac {36.\sqrt {3}}{4}= 9\sqrt {3} {cm}^2$

Por fim, a área da região sombreada corresponde à diferença entre a área do triângulo e a área da circunferência:

$As = Ac - At = 9\sqrt {3} - 3\pi =3(3\sqrt {3} - \pi) {cm}^2$

Answer 2

1)De início é necessário calcular a altura do triângulo; 2)Sendo que o raio é igual a 2/3 da altura, descobri,os o Raio da circunferência; 3)Calculemos agora a área da circunferência e do triângulo equilátero; 4)Por fim, calculamos a diferença das áreas calculadas.